கணிதமே சதுரங்கம்!
--------------------------------------
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
-----------------------------------------------------
முற்றிலும் கணித விதிகளுக்குக் கட்டுப்பட்டது சதுரங்க
விளையாட்டு. இது இந்தியாவில்தான் முதலில் தோன்றியது.
ஒரு கணித நிபுணர்தான் சதுரங்க விளையாட்டைக்
கண்டு பிடித்தார்.
இன்று உலகிலேயே ரஷ்யாவில்தான் சதுரங்கம் மிகப்
பரவலாக விளையாடப் படுகிறது. அன்றைய சோவியத்
ஒன்றியத்தின் அதிபர் லெனின், தமது நண்பரும் எழுத்தாளருமான மாக்சிம் கார்க்கியுடன் ஒய்வு நேரத்தில் சதுரங்கம் விளையாடுவார்.
சதுரங்கம் என்பது ஒரு மனப்பயிற்சிக்கூடம்
(Chess is the gymnasium of mind) என்று லெனின் வர்ணித்தார்.
சதுரங்கம் ஓர் உளவியல் படுகொலை (Chess is a psychic murder)
என்றார் அமெரிக்காவின் பாபி பிஷர் (Bobby Fisher 1943-2008). இவர்
1972-75 காலக்கட்டத்தில் உலக சாம்பியனாக இருந்தவர்.
1500 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு, பொ ச ஆறாம் நூற்றாண்டில்
இந்தியாவில் தோன்றியதே சதுரங்கம் என்பது வரலாற்று
ஆய்வாளர்கள் பெரிதும் ஏற்றுக்கொண்ட கருத்து. இந்தியாவில் தோன்றி பாரசீகம் வழியாக ஐரோப்பா சென்றது சதுரங்கம்.
ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்குப் பின்னர்தான், ஐரோப்பாவில்
பொ ச 15ஆம் நூற்றாண்டில்தான், சதுரங்கம் பரவலான செல்வாக்குப் பெற்றது.
இந்தியாவின் அண்மைக்கால சதுரங்க வரலாற்றை
ஆமு, ஆபி என்று, அதாவது ஆனந்த்துக்கு முன்,
ஆனந்துக்குப் பின் என்று இரண்டாகப் பிரிக்கலாம்.
ஆனந்துக்கு முன் இந்தியாவில் யாருமே கிராண்ட் மாஸ்டர்
கிடையாது. ஆனந்துதான் இந்தியாவின் முதல் கிராண்ட்
மாஸ்டர். 1988ல் தம் 18ஆம் வயதில் ஆனந்த் கிராண்ட் மாஸ்டர்
ஆனார். இந்தியாவில் தற்போது 50 கிராண்ட் மாஸ்டர்கள்
உள்ளனர் (ஜூன் 2018 நிலவரப்படி).
அதே நேரத்தில் உலகிலேயே அதிக கிராண்ட் மாஸ்டர்களைக்
கொண்ட நாடு ரஷ்யாதான். ரஷ்யாவில் 240 கிராண்ட் மாஸ்டர்கள்
உள்ளனர். அடுத்து 94 கிராண்ட் மாஸ்டர்களுடன் இரண்டாம் இடத்தில் அமெரிக்கா உள்ளது (2018 நிலவரப்படி).
ஆனந்துக்கு முன் இந்தியாவின் சதுரங்க நாயகராக
இருந்தவர் தமிழரான மானுவல் ஆரன் (Manuel Aaron). இவர் இந்தியாவின் முதல் சர்வதேச மாஸ்டர் (International Master) ஆவார்.
உலக சதுரங்க சம்மேளனம் (FIDE = Federation Internationale des Echecs)
மட்டுமே சர்வதேச மாஸ்டர் (IM), கிராண்ட் மாஸ்டர் (GM) ஆகிய
பட்டங்களை (titles) வழங்கும் உரிமை படைத்தது. சதுரங்கத்தில்
மிக உயர்ந்த பட்டம் கிராண்ட் மாஸ்டர் ஆகும்.இதைப்
பெறுவதற்கு ஒரு ஆட்டக்காரர், பிற நிபந்தனைகளை
நிறைவு செய்வதுடன், ஈலோ மதிப்பீட்டில் (Elo Rating)
2500 புள்ளிகள் பெற்றிருக்க வேண்டும்.
சர்வதேச மாஸ்டர் பட்டத்தைப் பெறுவதற்கு ஈலோ
மதிப்பீட்டில் 2400 புள்ளிகள் பெற்றிருக்க வேண்டும். பிற
நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்திருக்க வேண்டும்.
சதுரங்க வீரர்களின் ஆட்டத்திறனை மதிப்பிடும்
முறையே ஈலோ மதிப்பீடு ஆகும். இம்முறையை
உருவாக்கியவர் ஹங்கேரிய அமெரிக்கரான இயற்பியல்
பேராசிரியரும் சதுரங்க நிபுணருமான ஆர்பட் இம்ரே ஈலோ
(Arpad Imre Elo 1903-1992) ஆவார். அவரின் பெயரால் இம்முறை
ஈலோ மதிப்பீடு (Elo rating) என வழங்கப் படுகிறது.
இந்தியாவின் விசுவநாதன் ஆனந்த் (தற்போது வயது 49)
ஐந்து முறை உலக சாம்பியன் பட்டத்தை வென்றுள்ளார்.
டெஹ்ரானில் 2000ல் நடந்த போட்டியில் வென்று
முதன் முறையாக உலக சாம்பியன் ஆனார். தொடர்ந்து
2007, 2008,2010,2012 ஆகிய ஆண்டுகளில் நடந்த
போட்டிகளில் வென்று தமது பட்டத்தைத் தக்க வைத்துக்
கொண்டார். சதுரங்கம் விளையாடும் அனைவருக்கும்
ஆனந்த் மகத்தான உத்வேகம் அளித்தார்; இந்தியாவில்
சதுரங்கத்தின் பரவலுக்கும் வளர்ச்சிக்கும் ஆதர்சமாக
இருந்தார். இந்திய அரசு ஆனந்துக்கு பத்மஸ்ரீ,
பத்மபூஷண், பத்ம விபூஷண் ஆகிய விருதுகளை
வழங்கி கெளரவித்துள்ளது.
அண்மைக்கால இந்திய வரலாற்றில் நுண்ணறிவுத் திறன்
அதிகமான முதல் மூவர் என்று ராமானுஜன், சி வி ராமன், விஸ்வநாதன் ஆனந்த் ஆகிய மூவரும் (Top three Indians with
the highest IQ) மதிப்பிடப் படுகின்றனர். இதை மறுத்து
வேறு மூவர் அடங்கிய மாற்றுப் பட்டியலை முன்மொழிய
இயலாது என்பது கண்கூடு. எனவே டெண்டுல்கருக்கு
வழங்கியது போல, ஆனந்துக்கும் பாரத ரத்னா
வழங்கிச் சிறப்பிக்க வேண்டியது இந்திய அரசின்
கடமையாகும்.
சதுரங்க விளையாட்டில் கணினி புகுத்தப்பட்டது முதல்
இது நாலுகால் பாய்ச்சலில் பரவலாகி .வருகிறது.
விளையாடுவதற்கு துணை கிடைக்காத நிலையை
கணினி போக்கி விடுகிறது. இன்று ஒரு அலைபேசியில்
சர்வ சாதாரணமாக எவரும் சதுரங்கம் விளையாட
முடியும். அலைபேசியின் மென்பொருளில்
அடங்கியுள்ள கணினி உங்களுடன் விளையாடும்.
உலகின் தலைசிறந்த சதுரங்க வீரர் காரி காஸ்பரோவ்.
உலக சாம்பியனான இவர் 1996 பிப்ரவரியில் டீப் ப்ளூ (Deep Blue) என்னும் கணினியுடன் சதுரங்கம் விளையாடினார்.
ஐபிஎம் (IBM) நிறுவனம் தயாரித்த இக்கணினி 6 அடி 5 அங்குலம் உயரமும் 1270 கிலோகிராம் நிறையும் கொண்டது. ஒரு வினாடிக்கு
100 மில்லியன் (10 கோடி) ஆட்ட நிலைகளை (Game positions)
மதிப்பிட்டு முடிவெடுக்க வல்லது இக்கணினி.
மொத்தம் ஆறு ஆட்டங்கள் நடந்தன. இதில் முதல்
ஆட்டத்தில் டீப் ப்ளூ கணினியானது காஸ்பரோவை
வென்றது. மனிதனை எதிர்த்து கணினி வென்றது என்ற
செய்தி கேட்டு உலகமே அதிர்ந்தது. எனினும் மீதியிருந்த ஐந்து ஆட்டங்களில் மூன்றை வென்றும் இரண்டை டிரா செய்தும்
4-2 என்ற ஸ்கோர் கணக்கில் காஸ்பரோவ்
கணினியைத் தோற்கடித்து ஆட்டத்தொடரை வென்றார்.
சதுரங்கத்தின் அடிப்படை கணிதமே என்பது மட்டுமின்றி,
"கணிதமே சதுரங்கம், சதுரங்கமே கணிதம்" என்னும்
அளவுக்கு கணிதமும் சதுரங்கமும் ஈருடலும் ஓருயிருமாக
இருப்பவை. காரி காஸ்பரோவ் போன்ற உலக
சாம்பியனையே கணினி தோற்கடித்தது என்ற வரலாறு
இந்த உண்மையை உறுதிப் படுத்துகிறது.
டாக்டர் மாக்ஸ் யூவ் (Dr Max Euwe 1901-1981) என்ற நெதர்லாந்து நாட்டின் கணித அறிஞர் 1935ல் உலக சாம்பியன் ஆனார். உலக சாம்பியனாக
ஒரு கணித அறிஞர் ஆவது என்பது சதுரங்கத்தில் மட்டுமே
சாத்தியம். இவர் உலக சதுரங்க சம்மேளனத்தின் (FIDE) தலைவராகவும் 1970 முதல் 1978 வரை எட்டு ஆண்டுகள் பணியாற்றினார்.
சதுரங்கம் தோன்றியபோதே அதைச்சார்ந்து பல கணிதப்
புதிர்களும் கூடவே தோன்றின. ஒரு பண்டைக் காலப்
புதிர் இன்றும் உயிர்ப்புடன் திகழ்கிறது.
சதுரங்கப் பலகையில் 64 கட்டங்கள் உள்ளன. இதில் முதல்
கட்டத்தில் ஒரு நெல்மணியை வைக்க வேண்டும். அடுத்த
கட்டத்தில் இரண்டு மடங்கு நெல்மணியும், தொடர்ந்து
ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் முந்திய கட்டத்தில் வைக்கப்பட்ட
நெல்மணிக்கு இரு மடங்கு என்ற அளவில் வைத்துக்
கொண்டே வர வேண்டும். அப்படியானால் எவ்வளவு
நெல்மணிகளை வைக்க வேண்டும் என்பதுதான் புதிர்.
மிக எளிய முறையில் இப்புதிரை விடுவிக்கலாம்.
1+2+4+8+......... என்று கணக்கிட்டால் 64 கட்டங்களிலும்
சேர்த்து மொத்தம் 18,446,744,073,709,551,615 நெல்மணிகள்
வைக்கவேண்டி இருக்கும். அதாவது 18 குயின்டிலியன்
நெல்மணிகள் ஆகும். (1 quintillion = 10^18). பொச 13ஆம் நூற்றாண்டில், பண்டைய இந்தியாவில் தோன்றியதே
இப்புதிர் என்று வரலாற்று ஆய்வாளர்கள் கருதுகின்றனர்.
18 குயின்டிலியன் நெல்மணிகளின் நிறை லட்சம் கோடி
மெட்ரிக் டன் என்ற அளவில் இருக்கக் கூடும். இது ஓராண்டின்
உலக நெல் உற்பத்தியை விடப் பல்லாயிரம் மடங்கு
அதிகமானதாக இருக்கக் கூடும்.
சதுரங்கத்தில் குதிரை மிகவும் ஆர்வமூட்டுவது. குதிரை
மட்டும்தான் தன்னுடைய பாதையில் வேறு காய்கள்
இருந்தாலும், அவற்றைத் தாண்டிச் செல்லும். மற்றக்
காய்களுக்கு இல்லாத சலுகை இது. சதுரங்கப் பலகையின்
நடுவில் உள்ள ஒரு கட்டத்தில் ஒரு குதிரையை வைத்தால்,
அதே செல்லக்கூடிய எட்டுக் கட்டங்களையும் இணைத்தால்
அது ஒரு எண்கோணமாக (octagon) இருக்கும்.
குதிரையின் சுற்றுலா (Knight"s tour) என்பது சதுரங்கத்தில்
மிகவும் புகழ் பெற்ற இன்னொரு புதிர். சதுரங்கப் பலகையில்
ஏதேனும் ஒரு கட்டத்தில் அமரும் குதிரை 64 கட்டங்களுக்கும்
செல்ல வேண்டும். எந்தக் கட்டமும் விடுபடக் கூடாது.
எந்தக் கட்டத்திலும் ஒரு முறைக்கு மேல் இருத்தல் கூடாது.
இதுதான் புதிர்.
காஷ்மீரக் கவிஞர் ருத்ரதர் (Rudrata) ஒன்பதாம் நூற்றாண்டைச்
சேர்ந்தவர். இவர் காவிய அலங்காரம் என்னும் நூலை இயற்றியுள்ளார். இதில் சதுரங்கத்தில் உள்ள குதிரையின்
சுற்றுலா பற்றிக் குறிப்பிட்டுள்ளார். சதுரங்கம் பற்றிய மிகவும் தொன்மையான குறிப்பாக இது உள்ளது.
லியனார்டு ஆய்லர் (Leonard Euler 1707-1783) என்னும் சுவிஸ் கணித
அறிஞர் குதிரையின் சுற்றுலாப் புதிருக்கு விடை கண்டுள்ளார்.
சதுரங்கப் பலகையின் இடது ஓரத்தில் உள்ள முதல் கட்டத்தில்
இருந்து (A1) புறப்படும் குதிரை 64 கட்டங்களுக்கும் செல்கிறது.
தற்போது கணினி அறிவியலில், குறிப்பாக வரைபடக் கொள்கையில் (Graph Theory) ஹாமில்டன் பாதைச் சிக்கல்
(Hamiltonian path problem) என்பதாக இப்புதிர் அழைக்கப்படுகிறது.
நவீன கணிதம் 8x8 சதுரங்கப் பலகையில் குதிரையின் சுற்றுலாவுக்கு 26,534,728,821,064 தீர்வுகளை அதாவது 26 டிரில்லியன் தீர்வுகளைக் கண்டறிந்துள்ளது.
சதுரங்கப் புதிர்கள் கணக்கற்றவை. அவை அனைத்தையும்
இக்கட்டுரையில் விவரிக்க இயலாது. எனினும் இவற்றுள் மிகவும் புகழ்பெற்ற சதுரங்க ராணிப்புதிரைப் பார்ப்போம். ஒரு சதுரங்கப்
பலகையில் 8 ராணியை ஒன்றையொன்று வெட்டாமல்
வைக்க வேண்டும். எப்படி வைப்பது? இதுதான் புதிர்.
இப்புதிரை முதன் முதலாக 1848ல் ஜெர்மன் சதுரங்க
நிபுணர் மாக்ஸ் பெஸ்ஸல் (Max Bezzel 1824-1871) உருவாக்கினார்.
உலகப்புகழ் பெற்ற ஜெர்மன் கணித அறிஞர் காரல் பிரடெரிக்
காஸ் (Karl Frederick Gauss 1777-1855) இப்புதிருக்கு விடை கண்டார்.
இதற்கு மொத்தம் 92 தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில் எளிய ஒரு
தீர்வைப் பார்ப்போம். பின்வரும் கட்டங்களில் எட்டு
ராணிகளை வைத்தால் (a5, b3, c1, d7, e2, f8, g6, h4) ஒன்றையொன்று வெட்டாது.
சதுரங்கத்தில் இரண்டு நகர்த்தல்களில் ராஜாவைச்
சிறைபிடிப்பது (Two moves mate problem) என்பது மிகவும் பிரபலமான
கணக்கு. வெள்ளைக்காய்களைக் கொண்டவர் முதலில்
நகர்த்தி வெற்றி பெற வேண்டும் (white to play and win). இந்தக்
கணக்கில் மொத்தமே இரு தரப்புக்கும் சேர்த்து மூன்று
நகர்த்தல்கள் மட்டுமே வரும். மூன்றாவது நகர்த்தல்
சிறைபிடிக்கும் நகர்த்தல் (mating move) ஆகும். சதுரங்கத்தில்
திறனை மேம்படுத்த விரும்புவோர் இத்தகைய
கணக்குகளைச் செய்து பழக வேண்டும்.
இன்றளவும் உலக சாம்பியன் போட்டி ஆண்களுக்கும்
பெண்களுக்கும் தனித்தனியாகவே நடத்தப்பட்டு
வருகிறது. சதுரங்கத்தில் பெண்களும் தங்களின்
திறனை மேம்படுத்திக் கொண்டால், உலக சாம்பியன்
பட்டம் என்பது ஆண் பெண் இருபாலருக்கும்
பொதுவானதாக அமையும். வருங்காலத்தில் இது
சாத்தியம் ஆகும்.*****
