Ilango Arasiyal

நூற்றாண்டுகளாய் நீடித்த புதிர் விடுவிப்பு!
=============================================
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------------
நூற்றாண்டுகளாக நீடித்த ஓர் கணிதப் புதிருக்கு
அண்மையில், 2016ஆம் ஆண்டில் விடை கிடைத்துள்ளது.
ஆம், ஃபெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டு
விட்டது. 17ஆம் நூற்றாண்டில், 1637இல் ஃபெர்மட்
கூறிய தேற்றம், 380 ஆண்டுகள் கழித்து, 21ஆம்
நூற்றாண்டில் நிரூபிக்கப் பட்டுள்ளது. ஆக்ஸ்போர்டு
பல்கலையைச் சேர்ந்த 62 வயதான சர் ஆண்ட்ரு
ஜே வெய்ல்ஸ் என்னும் கணித அறிஞர் ஃபெர்மட்டின்
கடைசித் தேற்றத்தை நிரூபித்து 2016ஆம் ஆண்டின்
ஏபெல் பரிசை வென்றுள்ளார்.    

நியல்ஸ் ஹென்ரிக் ஏபெல் (1802-1829) என்பவர்
நார்வே நாட்டு கணித மேதை. 26 வயதிலேயே
எலும்புருக்கி நோயால் இறந்து போன இவரின்
கணிதப் பங்களிப்பு குறிப்பிடத் தக்கது.

இவரின் பெயரால் 2004 முதல் ஆண்டு தோறும்
ஏபெல் பரிசு வழங்கப்பட்டு வருகிறது.கணிதத்திற்கு
மட்டுமேயான பரிசு இது. கணிதத்திற்கு நோபெல் பரிசு
இல்லை என்ற குறையை ஏபெல் பரிசு நீக்கி விடுகிறது.
இப்பரிசின் மதிப்பு 7 லட்சம் அமெரிக்க டாலர்.

பிரெஞ்சு நாட்டுக் கணித அறிஞர் ஃபெர்மட்
(Pierre de Fermat  1607-1665) என்பவர்  1637இல் ஒரு தேற்றத்தைக் .
கூறினார். தமது தேற்றத்துக்கு தம்மிடம் நிரூபணம்
இருப்பதாகக் கூறிய ,போதிலும், ஃபெர்மட், அந்த
நிரூபணத்தைக் கூறவில்லை. இதனால்
அத்தேற்றம் நூற்றாண்டுகள் கடந்தும் நிரூபிக்கப் படாமலே இருந்தது.இதனால் அது  ஒரு புதிராக மாறிவிட்டது.

ஜெர்மனியின் கணித அறிஞர் காரல் பிரடெரிக் காஸ் இத்தேற்றத்தை நிரூபிப்பதில் தமக்குத் துளியும்
ஆர்வமில்லை என்று அறிவித்து இருந்தார்.

இப்புதிரை விடுவிக்க பல்வேறு காலங்களில் பலரும் 

முயற்சி செய்து தோற்றனர். இதனால் உலக ஆவணப்
பதிவிற்கான கின்னஸ் புத்தகத்தில் மிகக் கடினமான
கணிதப் புதிர் என்பதாக ஃபெர்மட்டின் கடைசித்
தேற்றம் குறிக்கப்பட்டு இருந்தது.

1995ஆம் ஆண்டிலேயே ஆண்ட்ரு வெய்ல்ஸ்
தமது நிரூபணத்தைச் சமர்ப்பித்து விட்டார்.அந்த
நிரூபணம்  Annals of mathematics என்னும்  புகழ்மிக்க
கணித சஞ்சிகையின் மே 1995 இதழில் பிரசுரமானது.
கணித உலகம் வெய்ல்சின் நிரூபணத்தின்
சரித்தன்மையை ஆராய்ந்தது.இறுதியில்
ஏற்றுக் கொண்டது.

ஃபெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றம்
---------------------------------------------------------
x^n + y^n = z^n  என்ற ஒரு சமன்பாட்டை ஃபெர்மட்     
எழுதினார். இதில் x, y, z, n ஆகிய அனைத்தும் முழு
எண்கள் (integers). இங்கு  n என்பதன் மதிப்பு 2க்கு மேல்
இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டுக்கு முழு எண் தீர்வு
கிடைக்காது என்றார் ஃபெர்மட். இதுதான் ஃபெர்மட்டின்
கடைசித் தேற்றம் எனப்படுகிறது.

இச்சமன்பாட்டில் n =2 என்றால், அது பித்தகோரஸ்
தேற்றமாக ஆகி விடுகிறது. பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின்
தீர்வுகள் முழு எண்களில் கிடைக்கும். 3,4,5
(3^2+4^2 = 5^2) போன்ற பல பித்தகோரஸின் மும்மைகளை
(Pythagorean triplets) நாம் அறிவோம்.

ஆனால் n என்பதன் மதிப்பு 2க்கு மேல் செல்கிறபோது
முழுஎண் தீர்வுகள் கிடைப்பதில்லை. n =3, n =4, n =5 போன்ற
முழு எண்களை எடுத்துக் கொண்டு
இச்சமன்பாட்டை இயன்றவரை நாம் பரிசீலிக்கலாம்.

x,y,z, n க்கு முறையே 21, 36,37,4 என்ற மதிப்புகளைக்
கொடுத்தால்,
21^4 + 36^4  = 37^4 என்ற சமன்பாடு பொருந்தவில்லை.
அதாவது, 194481+ 1679616  = 1874097.
ஆனால், 37^4= 1874161.

இன்னொரு எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம்.
x,y,z,n ஆகியவற்றுக்கு 13,16,17,5 ஆகிய மதிப்புகளைக்
கொடுப்போம்.

13^5= 371293.
16^5= 10488576.
13^5+ 16^5= 1419869.
ஆனால், 17^5= 1419857.
இங்கும் சமன்பாடு பொருந்தவில்லை. மயிரிழையில்
சமன்பாடு பொருத்தமற்று விடுகிறது.  

இவ்வாறு ஃபெர்மட்டின் சமன்பாடு சில எண்களைப் பொறுத்து
மிக்க நெருக்கமான ஒரு தோராயத்தை மட்டுமே தருகிறதே  .
தவிர, சமன்பாட்டுக்கு முழுஎண் தீர்வு எதுவும் இல்லை.

அசர வைக்கும் நிரூபணம்!
------------------------------------------
கணித மேதைகளுக்கு இந்த உண்மை தெரியும்.
ஆனால் இதை நிரூபிப்பது மிகக் கடினமான பணியாக
இருந்தது. தமது 10 வயதிலேயே ஃபெர்மட்டின்
கடைசித் தேற்றத்தைப் பற்றி அறிந்த ஆண்ட்ரு வெய்ல்ஸ்
அதை நிரூபிப்பதை தம் லட்சியமாகக் கொண்டார்.
இடைவிடாத முயற்சிகளின் இறுதியில் அதை
நிரூபித்தும் விட்டார். வெய்ல்சுக்கு வழங்கிய
ஏபெல் பரிசின் குறிப்பில் (citation), அவரின் நிரூபணம்
அசர வைப்பது (stunning proof) என்று எழுதப்பட்டு உள்ளது.

ஒருவழியாக ஃபெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றம்
நிரூபிக்கப்பட்டு விட்டது. என்றாலும் இதைப்போன்ற
இன்னும் சில கணிதக் கருதுகோள்கள் நிரூபணத்துக்குக்
காத்திருக்கின்றன. அண்மையில்தான் பாயின்கரே
கருதுகோள் நிரூபிக்கப் பட்டது. எல்லோரும்
எதிர்பார்த்துக் காத்திருப்பது ரீமன் கருதுகோளின்
(Riemann hypothesis) நிரூபணத்திற்காக.
***************************************************************