அறிவியல் கட்டுரைகள் தொகுப்பு
00--------------------------------------------------------
1 முதல் 10 வரையுள்ள எண்கள் பத்தையும் கூட்டுங்கள்.
மனதிலேயே கூட்டலாம். கூட்டுத்தொகை 55 வரும்.
இப்போது 1 முதல் 100 வரையுள்ள எண்களைக்
கூட்டுத்தொகை 5050 வரும்.
--------------------------------------------------
சந்திரனில் பெரிய குகை உள்ளது!
ஜப்பானிய விண்கலன் கண்டறிந்தது!
அண்மைச் செய்தி!
------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------
1) ஏறத்தாழ ஒரு மாதத்திற்கு முன்பு, அக்டோபர் 2017இல்
சந்திரனில் ஒரு பெரிய குகை இருப்பது கண்டுபிடிக்கப்
பட்டுள்ளது.
2) இதைக் கண்டு பிடித்தது ஒரு ஜப்பானிய விண்கலன்.
அதன் பெயர் செலன். (SELENE). இந்த விண்கலன்
ஒரு orbiter ஆகும்.
3) orbiter என்றால் கோள்சுற்றி என்று பொருள். அதாவது
கோளைத் தொடாமல், நெருங்காமல், கோளைச் சுற்றி
வருவது கோள்சுற்றி (orbiter) ஆகும்.
4) விண்கலன்கள் கோள்சுற்றி (orbiter), தரையிறங்கி (lander),
தரையுலாவி (rover) எனப் பலவகைப் படும். 100கிமீக்கு
50 கிமீ அளவுள்ளது இந்தக் குகை.
5) சந்திரனில் நிலவும் வெப்பநிலை எப்போதுமே
அதீதமானது (extreme). அதாவது பகலில் அதிக வெயிலும்
இரவில் அதிகக் குளிரும் இருக்கும். எனவே சந்திரனின்
மேற்பரப்பில் தங்குவது என்பது இயலாதது.
6) இந்நிலையில் தரைக்கு அடியில் செல்கிற
இக்குகை போன்ற அமைப்புகள் விண்வெளி வீரர்கள்
நிலவில் இறங்கினால், தங்குவதற்கு வசதியானது.
7) எதிர்கால மனிதன் நிலவில் தங்குவான்.
******************************************************************
சந்திரனின் மேற்பரப்பில் பகலில்
அடுப்போ நெருப்போ இல்லாமல்
பால் காய்ச்ச முயலுகிறார் நயன்தாரா.
அவரால் பால் காய்ச்ச முடியுமா? எப்படி?
.
பீத்தோவனின் 5th symphony!
யூக்ளிட்டின் 5th postulate! இரண்டும் பிரசித்தம்!
5th postulateஐ ஏற்க முடியாததால் பிற வகை
geometry தோன்றியது.
விடையும் விளக்கமும்!
-----------------------------------------
சந்திரனின் மேற்பரப்பில் பகல் நேரத்தில் வெப்பநிலை
சர்வ சாதாரணமாக 100 டிகிரி செல்சியசுக்கு மேல்
இருக்கும். பெரும்பாலான நேரத்தில் 125 டிகிரி
செல்ஸியஸ் இருப்பது இயல்பு. இந்த வெப்பநிலையை
நாசா அளந்துள்ளது. எனவே சந்திரனில் பாத்திரத்தில்
பாலை வைத்த உடனேயே பால் காய்ந்து விடும்.
அடுப்போ நெருப்போ தேவையில்லை. எனவே
நயன்தாரா பாலைக் காய்ச்சி விடுவார்.
பாலின் கொதிநிலை (boiling point) நீரின் கொதிநிலையை
விட மிகச் சிறிதே அதிகம். எனவே 100 டிகிரி வெப்பத்தில்
பால் காய்ச்சப்பட்டு விடும். காய்ந்த பால் ஆவியாகாமல்
தடுப்பதில்தான் நயன்தாராவின் திறமை உள்ளது.
அத்திறமை அவரிடம் இருக்க வேண்டுமெனில்,
அவர் physics படித்திருக்க வேண்டும்.
c v raman
h j bhaba
vikram sarabhai
s n bose
meghnad saha
j c bose
-------------------------------------------------------------
முழு எண்களை (integers) அறிவோம்.
காசின் முழு எண்கள் (Gaussian integers) பற்றியும் அறிவோம்.
Gaussian integer ஒரு complex number ஆகும்.
Gaussian integerக்கு உதாரணம்: a+bi, 3+4i.
ஒரு complex number எவ்வாறு ஒரு முழுஎண்ணாகக்
கருதப்பட இயலும் என்று உங்களுக்கு சந்தேகம்
வருகிறதா? சந்தேகம் வந்தால் உங்களின் கணித அறிவு
ஆரோக்கியமான மனநிலையில் இருப்பதாக அர்த்தம்.
இங்கு Gauss என்பது ஜெர்மன் நாட்டுக் கணித
மேதையின் பெயர் ஆகும்.
imaginary part ஒரு integerஆக இருக்க வேண்டும்.real and imaginary parts both must be integers. The imaginary part need not be zero but must be an integer.
--------------------------------------------------------
கெப்ளரின் விதிகளை அறிவோம்!
-----------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------
( முந்தைய பதிவில் உள்ள கணக்கும் அதன் விடையும்)
------------------------------------------------------------------------------------------------
சரியான விடையும் விளக்கமும்!
----------------------------------------------------------
சூரியனில் இருந்து பூமி 15 கோடி கி.மீ
தூரத்தில் உள்ளது. இதில் பாதி தூரத்தில்
பூமி இருப்பதாக கற்பனை செய்தால்,
ஓராண்டு எத்தனை நாட்களைக் கொண்டதாக இருக்கும்?
தற்போது ஓராண்டுக்கு 365 நாள் என்று கொள்க.
விளக்கம்: இந்தக் கணக்கை கெப்ளரின் Law of periods
விதியைக் கொண்டு செய்ய வேண்டும்.
**
Law of periods: The square of the period of revolution of any planet is
proportional to the cube of the planet's mean distance from the sun.
Therefore, T^2 is directly proportional to R^3.
**
சூரியனைச் சுற்றுகிற எந்த ஒரு கோளின்
சுழற்சிக்காலத்தின் வர்க்கமானது, சூரியனுக்கும்
அக்கோளுக்கும் உள்ள சராசரி தூரத்தின்
மும்மடிக்கு நேர்விகிதப் பொருத்தத்தில் இருக்கும்.
இதுதான் மேற்கூறிய கெப்ளரின் விதியின் தமிழாக்கம்.
**
இப்போது கணக்கைச் செய்யலாம்.
சூரியன்-பூமி தூரம்= R என்க. (R = 15 கோடி கி.மீ= 1 AU)
காலம் = Time Period= T என்க. (T = 365 நாட்கள்)
சூரியன்-பூமி புதிய தூரம் = a என்க (a = 7.5 கோடி கி.மீ = 0.5 AU)
இதற்கான காலம் = b என்க. (இதைக் கண்டறிய வேண்டும்).
**
கெப்ளரின் விதிப்படி,
b^2 /T^2 = a^3/R^3
b^2/ 365^2 = 0.5^3/1^3
On simplifying we get, b= 129 days.
எனவே, சூரியனுக்கும் பூமிக்கும் இடையிலான தூரம்
பாதியாகக் குறையுமானால், ஒரு ஆண்டு என்பது
129 நாட்களாக இருக்கும்.
*********************************************************
அன்றே கூறினார் ஆர்ய பட்டர்!
------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
--------------------------------------------------------
ஆர்ய பட்டர் கூறிய piன் மதிப்பு = 3.1416.
இது மூன்று தசம இடங்கள் வரை சரியாக உள்ளது.
pi = 3.14159265 என்று முடிவுறாமல் செல்லும்.
ஆர்ய பட்டரின் பின்வரும் சூத்திரம் piன் மதிப்பை
கணக்கிடுவது என்று கூறுகிறது.
1) 4 என்ற எண்ணைக் கருதுக. (4)
2) இதை 100உடன் கூட்டுக.(104)
3) இதை 8ஆல் பெருக்குக. (104x8= 832)
4) இதை 62000 என்ற எண்ணுடன் கூட்டுக. (832+62000=62832)
5) இந்த 62832 என்பது விட்டத்தின் அளவு 20000 கொண்ட
ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு ஆகும்.
( pi x 20000 = 62832)
6) எனவே pi = 62832 divided by 20000
= 3.1416/
ஆர்ய பட்டர் கூறிய மதிப்பு = 3.1416
நவீன மதிப்பு = 3.1415
ஆர்ய பட்டர் கூறியது கி.பி 499இல். தாம் கூறிய மதிப்பு
தோராயமானதே என்றும் அவர் கூறியிருந்தார்.
இச்செய்தி அவரின் ஆர்ய பட்டியம் என்ற நூலில் உள்ளது.
*****************************************************
தை மகளின் கை விரல்களை
வெண்டைப்பிஞ்சுகள் என
மயங்கினான் மாமன்னன்.
pi = 3.14159265.....
இது ஒரு நினைவுகூரும் வாக்கியம்.
இவ்வாக்கியத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வார்த்தையிலும்
எத்தனை எழுத்து உள்ளதோ அதைக் கொண்டு
pi ன் மதிப்பை நினைவு கூரலாம். இது நல்ல அழகான
வாக்கியம்தான். என்றாலும் வேறு ஒரு வாக்கியத்தை
உருவாக்க முயல்கிறேன். காரணம், தமிழ் தெரியாத பல
மூதேவிகள் "வெண்டைப்பிஞ்சுகள்" என்று எழுதுவதே
சரி என்று அறியாமல் வெண்டை என்றும் பிஞ்சு என்றும்
பிரித்து விட்டால் பிழை ஏற்படும். இதைத் தவிர்க்கவே
வேறு ஒரு வாக்கியத்தை உருவாக்க விழைகிறேன்.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
எலக்ட்ரான் ஒரு நுண்ணிய துகள். துகளான எலக்ட்ரானுக்கு
இதற்கு அலைநீளம் உண்டா?
உண்டென்றால், வினாடிக்கு 100 கிலோமீட்டர்
வேகத்தில் செல்லும் எலக்ட்ரானின் அலைநீளம் என்ன?
-----------------------------
2 வெள்ளை, 3 கருப்பு, 4 சிவப்பு என உள்ள 9 பந்துகளில் என்னும்
தற்போக்காக (random) 2 பந்துகளை எடுக்கையில்
குறைந்தது 1 கறுப்புப் பந்து இருப்பதற்கான இருக்க
நிகழ்தகவு என்ன?
மிகவும் தற்போக்காக 2 பந்துகள் எடுக்கப் படுகின்றன.
-----------
பாயாசம் சூடு ஆறும் கணக்கு:
விடையும் விளக்கமும்!
---------------------------------------------------
ஒரு அறையில்
100 டிகிரி செல்சியசில்
1 லிட்டர் பாயாசம் உள்ளது. அது சூடு ஆறி
சாப்பிடும் பருவத்திற்கு (40 டிகிரி C)
வர எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
-----------------------
1) நியூட்டனின் கூலிங் விதியைப் பார்த்தோம்.
அதை ஒரு ஃ பார்முலாவாக மாற்றியதையும்
பார்த்தோம்.
2) இக்கணக்கைச் செய்ய வேண்டுமெனில் மேலும் சில
விவரங்களைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டும்.
**
3) ஃபார்முலாவில் உள்ள e^minus kt என்பதில் உள்ள
k ஒரு cooling constant ஆகும். இது சூடாக உள்ள பொருளைப்
பொறுத்து மாறும். இங்கு பாயாசத்தின் cooling constant
k = 0.08 என்று எடுத்துக் கொள்வோம். மேலும் இத்தகைய
கணக்குகளில் கருதப்படும் வழக்கமான ASSUMPTIONS
அத்தனையையும் நாமும் இங்கு கருதுகிறோம்.
**
4) கால்குலேட்டரில் அல்லது TABLESல் இருந்து
தேவையான ln (natural logarithm) மதிப்புகளை எடுத்துக்
கொண்டு கணக்கைச் செய்யவும்.
5) அதன்படி, கிடைக்கும் விடை:
t = 9.8 minutes ஆகும்.
பின்குறிப்பு: இந்தக் கணக்கில் அறை வெப்பநிலையை
விட பாயாசத்தை வெப்பநிலை அதிகம். எனவே
பாயாசமானது வெப்பத்தை இழக்கும். அதனால் e^ minus kt
என்று ஃபார்முலா சொல்கிறது. மாறாக, பொருளின்
வெப்பம் அறையின் வெப்பநிலையை விடக் குறைவாக
இருந்தால், the constant will be positive.
-----------
பாயாசத்தில் பால் சர்க்கரை எல்லாம் இருப்பதால்,
அது தண்ணீரைப் போல 100 டிகிரி செல்ஷியசில்
ஆவி ஆவதில்லை. பால் சாதாரணமான ஒரு ஸ்டீல்
பாத்திரத்தில் வைக்கப் பட்டுள்ளது என்று கொள்க.
இந்தக் கணக்கு 11ஆம் வகுப்பு பாடத்திட்டத்தில்,
இயற்பியலில் Newtons law of cooling பாடத்தில் வருகிற
கணக்கு. Newtons law of coolingஐ அறிமுகப் படுத்தவே
இந்தக் கணக்கு கொடுக்கப் பட்டுள்ளது
***************************************************************
ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் APயில்
உள்ளன. அதன் இரண்டு பெரிய பக்கங்கள்
முறையே 10 மற்றும் 9. பக்க அளவு 9க்கு
எதிராக உள்ள கோணம் என்ன?
The sum of the angles of a triangle are in AP and two of its larger
sides are 10 and 9 respectively. Find the angle which is opposite
to the side of length 9. (AP= Arithmetic Progression)
-------------
ஒரு மாமியாருக்கு 2 மருமகள்.
ஒருத்தி தூத்துக்குடியிலும்
இன்னொருத்தி ஊட்டியிலும் பாலைக்
காய்ச்சினால், யாரால் சீக்கிரம் பாலைக் காய்ச்சுவார்?
காய்ச்ச முடியும்? ஏன்? யு பால்
mukkiya kurippu!
முக்கிய குறிப்பு!
--------------------------------
தூத்துக்குடி கடல் மட்டத்தில் இருப்பதாகவும் ஊட்டி
கடல் மட்டத்தில் இருந்து சுமார் 6000 அடி உயரத்தில்
இருப்பதாகவும் கணக்கில் கொள்ளுங்கள். இருவரும்
ஒரே தரத்துப்பாலை, ஒரே அளவு திறன் உடைய
அடுப்பில், ஒரே நேரத்தில் காய்ச்சுகின்றனர் என்று
கொள்க. உயரத்தைத் தவிர (altitude aboveMSL, MSL =Mean Sea Level )
வேறு காரணி எதுவும் பால் காய்ச்சுதலில் செயல்படாது
என்று கொள்க.
------------------------------------------------------------------------------------------------
சரியான விடையும் விளக்கமும்!
-----------------------------------------------------------
விடை: ஊட்டி மருமகள்தான் சீக்கிரம் பால் காய்ச்சுவார்.
விளக்கம்:
-------------------
1) பாலின் கொதிநிலை (boiling point) என்ன?
தண்ணீரின் கொதிநிலை 100 டிகிரி செல்ஸியஸ்
என்பதை நாம் அறிவோம். பாலின் கொதிநிலை
100 டிகிரியை விடச் சற்று அதிகம். அவ்வளவே.
கிட்டத்தட்ட 100 டிகிரி, 100.5 டிகிரி, 101 டிகிரி (செல்ஸியஸ்)
என்ற அளவில்தான் பாலின் கொதிநிலை இருக்கும்.
**
2) ஊட்டி கடல் மட்டத்துக்கு மேல் 6000 அடி உயரத்தில்
இருக்கிறது. இதனால் அங்கு பாலின் கொதிநிலை
குறைவாக இருக்கும். அதாவது 93 டிகிரி செல்ஸியஸ்
(அல்லது 92 டிகிரி செல்ஸியஸ்) என்பதுதான் பாலின்
கொதிநிலை.
**
3) தூத்துக்குடியில் பாலின் கொதிநிலை= 100 டிகிரி C.
ஊட்டியில் பாலின் கொதிநிலை 93 டிகிரி C.
எனவே ஊட்டியில் விரைவில் பாலைக்
காய்ச்ச முடியும்.
**
4) திரவங்களின் கொதிநிலை உயரத்தைப் பொறுத்து
(altitude) மாறும் என்பதை உணர்த்துவதே இக்கணக்கின்
நோக்கம்.
**
5) உயரத்தைப் பொறுத்து ஏன் கொதிநிலை மாறுகிறது
என்பதை வாசகர்கள் தங்கள் சொந்த முயற்சியில்
அறிந்து கொள்ளுமாறு வேண்டுகிறோம். வெவ்வேறு
திரவங்களின் கொதிநிலை பற்றியும் அறிந்து
கொள்ளவும். ஆல்கஹாலின் கொதிநிலை என்ன?
அறிந்து கொள்க.
----------------------------------------------------------------------------------------
பைனாமியல் தேற்றமும் பாஸ்கல் முக்கோணமும்!
------------------------------------------------------------------------------------------
1) இந்தப் பதிவில் உள்ள கணக்கில் Binomial expansion
கேட்கப்பட்டு உள்ளது. அதாவது பைனாமியல்
தேற்றம் கூறுவது போல கோவையை (10+1) expand
செய்ய வேண்டும். இது 11ஆம் வகுப்பு பாடத்திட்டத்தில்
உள்ளது. இந்த expansion 12ஆம் வகுப்பிலும்
பெருமளவு பயன்படும். Macularian series, Taylor series ஆகிய
தொடர்களில் binomial expansion செய்ய வேண்டியது வரும்.
2) பைனாமியல் தேற்றமும் பாஸ்கல் முக்கோணமும்
பரஸ்பரம் நெருக்கமானவை. சில அம்சங்களில்
இரண்டும் ஒன்றே என்று கூடச் சொல்லலாம்.
பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் diagonalsம், binomial coefficientsம்
சமமே.
3) நான் பியூசி படிக்கும்போதே பாஸ்கல் முக்கோணம்
பாடத்திட்டத்தில் இருந்து obsolete என்று நீக்கப் பட்டு
விட்டது.
4) powerல் positive integer இருந்தால் binomial expansionல்
பாஸ்கல் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி,
விடை காண்பது எளிது. ஆனால், powerஇல் rational number
வரும்போது, பாஸ்கல் முக்கோணத்தை விட,
பைனாமியல் தேற்றமே பயன்படும்.
உ தாரணம்: (a+b)^2/3 etc.
5) பைனாமியல் தேற்றத்தை நியூட்டன்
rational indexக்கும் விரிவு செய்தார். அந்த expansion தான்
இப்போது 11ஆம் வகுப்பில் பாடமாக வைக்கப்
பட்டுள்ளது.
6) இந்தக் கணக்கில் விடையையும் நானே கொடுத்து
விட்டேன். expand செய்வது மட்டுமே வாசகர்களின் வேலை.
Expansion according to Binomial theorem. Not using Pascals triangle.
7) வாசகர்களுக்கு உள்ள வாய்ப்பை மறுக்கக்
கூடாது என்பதால்,விடையும் விளக்கமும் இறுதியில் வெளியிடப்படும். காகிதத்தில் எழுதி மொபைல் போனில்
படம் எடுத்து அதன் பிறகு வெளியிட உள்ளேன்.
-----------------------
கணக்கைச் செய்யுங்கள்! ஐன்ஸ்டின் ஆகுங்கள்!
-------------------------------------------------------------------------------------
பூமியில் கழிந்தது 10 ஆண்டு காலம். இதே 10 ஆண்டு
காலத்தில், விண்வெளிப் பயணத்தில் என்ன நேரம்
ஆகி இருக்கும் என்பதையே நாம் கண்டறிய வேண்டும்.
T (s)= T (according to stationary clock) = 10 years
T (m) = T (moving clock) = how much???
v = 0.9 c
c= c
Now use the formula (see the picture) and prove that T (m) = 4.4 years.
I have already asked our readers to store in memory the value of
"square root of 1 minus v squared divided by c squared". Use that value
and give the answer. இதற்கு மேல் மனக் கணக்கே!
00--------------------------------------------------------
1 முதல் 10 வரையுள்ள எண்கள் பத்தையும் கூட்டுங்கள்.
மனதிலேயே கூட்டலாம். கூட்டுத்தொகை 55 வரும்.
இப்போது 1 முதல் 100 வரையுள்ள எண்களைக்
கூட்டுத்தொகை 5050 வரும்.
--------------------------------------------------
சந்திரனில் பெரிய குகை உள்ளது!
ஜப்பானிய விண்கலன் கண்டறிந்தது!
அண்மைச் செய்தி!
------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------
1) ஏறத்தாழ ஒரு மாதத்திற்கு முன்பு, அக்டோபர் 2017இல்
சந்திரனில் ஒரு பெரிய குகை இருப்பது கண்டுபிடிக்கப்
பட்டுள்ளது.
2) இதைக் கண்டு பிடித்தது ஒரு ஜப்பானிய விண்கலன்.
அதன் பெயர் செலன். (SELENE). இந்த விண்கலன்
ஒரு orbiter ஆகும்.
3) orbiter என்றால் கோள்சுற்றி என்று பொருள். அதாவது
கோளைத் தொடாமல், நெருங்காமல், கோளைச் சுற்றி
வருவது கோள்சுற்றி (orbiter) ஆகும்.
4) விண்கலன்கள் கோள்சுற்றி (orbiter), தரையிறங்கி (lander),
தரையுலாவி (rover) எனப் பலவகைப் படும். 100கிமீக்கு
50 கிமீ அளவுள்ளது இந்தக் குகை.
5) சந்திரனில் நிலவும் வெப்பநிலை எப்போதுமே
அதீதமானது (extreme). அதாவது பகலில் அதிக வெயிலும்
இரவில் அதிகக் குளிரும் இருக்கும். எனவே சந்திரனின்
மேற்பரப்பில் தங்குவது என்பது இயலாதது.
6) இந்நிலையில் தரைக்கு அடியில் செல்கிற
இக்குகை போன்ற அமைப்புகள் விண்வெளி வீரர்கள்
நிலவில் இறங்கினால், தங்குவதற்கு வசதியானது.
7) எதிர்கால மனிதன் நிலவில் தங்குவான்.
******************************************************************
சந்திரனின் மேற்பரப்பில் பகலில்
அடுப்போ நெருப்போ இல்லாமல்
பால் காய்ச்ச முயலுகிறார் நயன்தாரா.
அவரால் பால் காய்ச்ச முடியுமா? எப்படி?
.
பீத்தோவனின் 5th symphony!
யூக்ளிட்டின் 5th postulate! இரண்டும் பிரசித்தம்!
5th postulateஐ ஏற்க முடியாததால் பிற வகை
geometry தோன்றியது.
விடையும் விளக்கமும்!
-----------------------------------------
சந்திரனின் மேற்பரப்பில் பகல் நேரத்தில் வெப்பநிலை
சர்வ சாதாரணமாக 100 டிகிரி செல்சியசுக்கு மேல்
இருக்கும். பெரும்பாலான நேரத்தில் 125 டிகிரி
செல்ஸியஸ் இருப்பது இயல்பு. இந்த வெப்பநிலையை
நாசா அளந்துள்ளது. எனவே சந்திரனில் பாத்திரத்தில்
பாலை வைத்த உடனேயே பால் காய்ந்து விடும்.
அடுப்போ நெருப்போ தேவையில்லை. எனவே
நயன்தாரா பாலைக் காய்ச்சி விடுவார்.
பாலின் கொதிநிலை (boiling point) நீரின் கொதிநிலையை
விட மிகச் சிறிதே அதிகம். எனவே 100 டிகிரி வெப்பத்தில்
பால் காய்ச்சப்பட்டு விடும். காய்ந்த பால் ஆவியாகாமல்
தடுப்பதில்தான் நயன்தாராவின் திறமை உள்ளது.
அத்திறமை அவரிடம் இருக்க வேண்டுமெனில்,
அவர் physics படித்திருக்க வேண்டும்.
c v raman
h j bhaba
vikram sarabhai
s n bose
meghnad saha
j c bose
-------------------------------------------------------------
முழு எண்களை (integers) அறிவோம்.
காசின் முழு எண்கள் (Gaussian integers) பற்றியும் அறிவோம்.
Gaussian integer ஒரு complex number ஆகும்.
Gaussian integerக்கு உதாரணம்: a+bi, 3+4i.
ஒரு complex number எவ்வாறு ஒரு முழுஎண்ணாகக்
கருதப்பட இயலும் என்று உங்களுக்கு சந்தேகம்
வருகிறதா? சந்தேகம் வந்தால் உங்களின் கணித அறிவு
ஆரோக்கியமான மனநிலையில் இருப்பதாக அர்த்தம்.
இங்கு Gauss என்பது ஜெர்மன் நாட்டுக் கணித
மேதையின் பெயர் ஆகும்.
imaginary part ஒரு integerஆக இருக்க வேண்டும்.real and imaginary parts both must be integers. The imaginary part need not be zero but must be an integer.
--------------------------------------------------------
கெப்ளரின் விதிகளை அறிவோம்!
-----------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------
( முந்தைய பதிவில் உள்ள கணக்கும் அதன் விடையும்)
------------------------------------------------------------------------------------------------
சரியான விடையும் விளக்கமும்!
----------------------------------------------------------
சூரியனில் இருந்து பூமி 15 கோடி கி.மீ
தூரத்தில் உள்ளது. இதில் பாதி தூரத்தில்
பூமி இருப்பதாக கற்பனை செய்தால்,
ஓராண்டு எத்தனை நாட்களைக் கொண்டதாக இருக்கும்?
தற்போது ஓராண்டுக்கு 365 நாள் என்று கொள்க.
---------------------------
விடை: 129 நாட்கள்.விளக்கம்: இந்தக் கணக்கை கெப்ளரின் Law of periods
விதியைக் கொண்டு செய்ய வேண்டும்.
**
Law of periods: The square of the period of revolution of any planet is
proportional to the cube of the planet's mean distance from the sun.
Therefore, T^2 is directly proportional to R^3.
**
சூரியனைச் சுற்றுகிற எந்த ஒரு கோளின்
சுழற்சிக்காலத்தின் வர்க்கமானது, சூரியனுக்கும்
அக்கோளுக்கும் உள்ள சராசரி தூரத்தின்
மும்மடிக்கு நேர்விகிதப் பொருத்தத்தில் இருக்கும்.
இதுதான் மேற்கூறிய கெப்ளரின் விதியின் தமிழாக்கம்.
**
இப்போது கணக்கைச் செய்யலாம்.
சூரியன்-பூமி தூரம்= R என்க. (R = 15 கோடி கி.மீ= 1 AU)
காலம் = Time Period= T என்க. (T = 365 நாட்கள்)
சூரியன்-பூமி புதிய தூரம் = a என்க (a = 7.5 கோடி கி.மீ = 0.5 AU)
இதற்கான காலம் = b என்க. (இதைக் கண்டறிய வேண்டும்).
**
கெப்ளரின் விதிப்படி,
b^2 /T^2 = a^3/R^3
b^2/ 365^2 = 0.5^3/1^3
On simplifying we get, b= 129 days.
எனவே, சூரியனுக்கும் பூமிக்கும் இடையிலான தூரம்
பாதியாகக் குறையுமானால், ஒரு ஆண்டு என்பது
129 நாட்களாக இருக்கும்.
*********************************************************
அன்றே கூறினார் ஆர்ய பட்டர்!
------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
--------------------------------------------------------
ஆர்ய பட்டர் கூறிய piன் மதிப்பு = 3.1416.
இது மூன்று தசம இடங்கள் வரை சரியாக உள்ளது.
pi = 3.14159265 என்று முடிவுறாமல் செல்லும்.
ஆர்ய பட்டரின் பின்வரும் சூத்திரம் piன் மதிப்பை
கணக்கிடுவது என்று கூறுகிறது.
1) 4 என்ற எண்ணைக் கருதுக. (4)
2) இதை 100உடன் கூட்டுக.(104)
3) இதை 8ஆல் பெருக்குக. (104x8= 832)
4) இதை 62000 என்ற எண்ணுடன் கூட்டுக. (832+62000=62832)
5) இந்த 62832 என்பது விட்டத்தின் அளவு 20000 கொண்ட
ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு ஆகும்.
( pi x 20000 = 62832)
6) எனவே pi = 62832 divided by 20000
= 3.1416/
ஆர்ய பட்டர் கூறிய மதிப்பு = 3.1416
நவீன மதிப்பு = 3.1415
ஆர்ய பட்டர் கூறியது கி.பி 499இல். தாம் கூறிய மதிப்பு
தோராயமானதே என்றும் அவர் கூறியிருந்தார்.
இச்செய்தி அவரின் ஆர்ய பட்டியம் என்ற நூலில் உள்ளது.
*****************************************************
தை மகளின் கை விரல்களை
வெண்டைப்பிஞ்சுகள் என
மயங்கினான் மாமன்னன்.
pi = 3.14159265.....
இது ஒரு நினைவுகூரும் வாக்கியம்.
இவ்வாக்கியத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வார்த்தையிலும்
எத்தனை எழுத்து உள்ளதோ அதைக் கொண்டு
pi ன் மதிப்பை நினைவு கூரலாம். இது நல்ல அழகான
வாக்கியம்தான். என்றாலும் வேறு ஒரு வாக்கியத்தை
உருவாக்க முயல்கிறேன். காரணம், தமிழ் தெரியாத பல
மூதேவிகள் "வெண்டைப்பிஞ்சுகள்" என்று எழுதுவதே
சரி என்று அறியாமல் வெண்டை என்றும் பிஞ்சு என்றும்
பிரித்து விட்டால் பிழை ஏற்படும். இதைத் தவிர்க்கவே
வேறு ஒரு வாக்கியத்தை உருவாக்க விழைகிறேன்.
-----------------------------------------------------------------------------------------------
எலக்ட்ரான் ஒரு நுண்ணிய துகள். துகளான எலக்ட்ரானுக்கு
இதற்கு அலைநீளம் உண்டா?
உண்டென்றால், வினாடிக்கு 100 கிலோமீட்டர்
வேகத்தில் செல்லும் எலக்ட்ரானின் அலைநீளம் என்ன?
-----------------------------
2 வெள்ளை, 3 கருப்பு, 4 சிவப்பு என உள்ள 9 பந்துகளில் என்னும்
தற்போக்காக (random) 2 பந்துகளை எடுக்கையில்
குறைந்தது 1 கறுப்புப் பந்து இருப்பதற்கான இருக்க
நிகழ்தகவு என்ன?
மிகவும் தற்போக்காக 2 பந்துகள் எடுக்கப் படுகின்றன.
-----------
பாயாசம் சூடு ஆறும் கணக்கு:
விடையும் விளக்கமும்!
---------------------------------------------------
ஒரு அறையில்
100 டிகிரி செல்சியசில்
1 லிட்டர் பாயாசம் உள்ளது. அது சூடு ஆறி
சாப்பிடும் பருவத்திற்கு (40 டிகிரி C)
வர எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
-----------------------
1) நியூட்டனின் கூலிங் விதியைப் பார்த்தோம்.
அதை ஒரு ஃ பார்முலாவாக மாற்றியதையும்
பார்த்தோம்.
2) இக்கணக்கைச் செய்ய வேண்டுமெனில் மேலும் சில
விவரங்களைக் கணக்கில் கொள்ள வேண்டும்.
**
3) ஃபார்முலாவில் உள்ள e^minus kt என்பதில் உள்ள
k ஒரு cooling constant ஆகும். இது சூடாக உள்ள பொருளைப்
பொறுத்து மாறும். இங்கு பாயாசத்தின் cooling constant
k = 0.08 என்று எடுத்துக் கொள்வோம். மேலும் இத்தகைய
கணக்குகளில் கருதப்படும் வழக்கமான ASSUMPTIONS
அத்தனையையும் நாமும் இங்கு கருதுகிறோம்.
**
4) கால்குலேட்டரில் அல்லது TABLESல் இருந்து
தேவையான ln (natural logarithm) மதிப்புகளை எடுத்துக்
கொண்டு கணக்கைச் செய்யவும்.
5) அதன்படி, கிடைக்கும் விடை:
t = 9.8 minutes ஆகும்.
பின்குறிப்பு: இந்தக் கணக்கில் அறை வெப்பநிலையை
விட பாயாசத்தை வெப்பநிலை அதிகம். எனவே
பாயாசமானது வெப்பத்தை இழக்கும். அதனால் e^ minus kt
என்று ஃபார்முலா சொல்கிறது. மாறாக, பொருளின்
வெப்பம் அறையின் வெப்பநிலையை விடக் குறைவாக
இருந்தால், the constant will be positive.
-----------
பாயாசத்தில் பால் சர்க்கரை எல்லாம் இருப்பதால்,
அது தண்ணீரைப் போல 100 டிகிரி செல்ஷியசில்
ஆவி ஆவதில்லை. பால் சாதாரணமான ஒரு ஸ்டீல்
பாத்திரத்தில் வைக்கப் பட்டுள்ளது என்று கொள்க.
இந்தக் கணக்கு 11ஆம் வகுப்பு பாடத்திட்டத்தில்,
இயற்பியலில் Newtons law of cooling பாடத்தில் வருகிற
கணக்கு. Newtons law of coolingஐ அறிமுகப் படுத்தவே
இந்தக் கணக்கு கொடுக்கப் பட்டுள்ளது
***************************************************************
ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் APயில்
உள்ளன. அதன் இரண்டு பெரிய பக்கங்கள்
முறையே 10 மற்றும் 9. பக்க அளவு 9க்கு
எதிராக உள்ள கோணம் என்ன?
The sum of the angles of a triangle are in AP and two of its larger
sides are 10 and 9 respectively. Find the angle which is opposite
to the side of length 9. (AP= Arithmetic Progression)
-------------
ஒரு மாமியாருக்கு 2 மருமகள்.
ஒருத்தி தூத்துக்குடியிலும்
இன்னொருத்தி ஊட்டியிலும் பாலைக்
காய்ச்சினால், யாரால் சீக்கிரம் பாலைக் காய்ச்சுவார்?
காய்ச்ச முடியும்? ஏன்? யு பால்
mukkiya kurippu!
முக்கிய குறிப்பு!
--------------------------------
தூத்துக்குடி கடல் மட்டத்தில் இருப்பதாகவும் ஊட்டி
கடல் மட்டத்தில் இருந்து சுமார் 6000 அடி உயரத்தில்
இருப்பதாகவும் கணக்கில் கொள்ளுங்கள். இருவரும்
ஒரே தரத்துப்பாலை, ஒரே அளவு திறன் உடைய
அடுப்பில், ஒரே நேரத்தில் காய்ச்சுகின்றனர் என்று
கொள்க. உயரத்தைத் தவிர (altitude aboveMSL, MSL =Mean Sea Level )
வேறு காரணி எதுவும் பால் காய்ச்சுதலில் செயல்படாது
என்று கொள்க.
------------------------------------------------------------------------------------------------
சரியான விடையும் விளக்கமும்!
-----------------------------------------------------------
விடை: ஊட்டி மருமகள்தான் சீக்கிரம் பால் காய்ச்சுவார்.
விளக்கம்:
-------------------
1) பாலின் கொதிநிலை (boiling point) என்ன?
தண்ணீரின் கொதிநிலை 100 டிகிரி செல்ஸியஸ்
என்பதை நாம் அறிவோம். பாலின் கொதிநிலை
100 டிகிரியை விடச் சற்று அதிகம். அவ்வளவே.
கிட்டத்தட்ட 100 டிகிரி, 100.5 டிகிரி, 101 டிகிரி (செல்ஸியஸ்)
என்ற அளவில்தான் பாலின் கொதிநிலை இருக்கும்.
**
2) ஊட்டி கடல் மட்டத்துக்கு மேல் 6000 அடி உயரத்தில்
இருக்கிறது. இதனால் அங்கு பாலின் கொதிநிலை
குறைவாக இருக்கும். அதாவது 93 டிகிரி செல்ஸியஸ்
(அல்லது 92 டிகிரி செல்ஸியஸ்) என்பதுதான் பாலின்
கொதிநிலை.
**
3) தூத்துக்குடியில் பாலின் கொதிநிலை= 100 டிகிரி C.
ஊட்டியில் பாலின் கொதிநிலை 93 டிகிரி C.
எனவே ஊட்டியில் விரைவில் பாலைக்
காய்ச்ச முடியும்.
**
4) திரவங்களின் கொதிநிலை உயரத்தைப் பொறுத்து
(altitude) மாறும் என்பதை உணர்த்துவதே இக்கணக்கின்
நோக்கம்.
**
5) உயரத்தைப் பொறுத்து ஏன் கொதிநிலை மாறுகிறது
என்பதை வாசகர்கள் தங்கள் சொந்த முயற்சியில்
அறிந்து கொள்ளுமாறு வேண்டுகிறோம். வெவ்வேறு
திரவங்களின் கொதிநிலை பற்றியும் அறிந்து
கொள்ளவும். ஆல்கஹாலின் கொதிநிலை என்ன?
அறிந்து கொள்க.
----------------------------------------------------------------------------------------
பைனாமியல் தேற்றமும் பாஸ்கல் முக்கோணமும்!
------------------------------------------------------------------------------------------
1) இந்தப் பதிவில் உள்ள கணக்கில் Binomial expansion
கேட்கப்பட்டு உள்ளது. அதாவது பைனாமியல்
தேற்றம் கூறுவது போல கோவையை (10+1) expand
செய்ய வேண்டும். இது 11ஆம் வகுப்பு பாடத்திட்டத்தில்
உள்ளது. இந்த expansion 12ஆம் வகுப்பிலும்
பெருமளவு பயன்படும். Macularian series, Taylor series ஆகிய
தொடர்களில் binomial expansion செய்ய வேண்டியது வரும்.
2) பைனாமியல் தேற்றமும் பாஸ்கல் முக்கோணமும்
பரஸ்பரம் நெருக்கமானவை. சில அம்சங்களில்
இரண்டும் ஒன்றே என்று கூடச் சொல்லலாம்.
பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் diagonalsம், binomial coefficientsம்
சமமே.
3) நான் பியூசி படிக்கும்போதே பாஸ்கல் முக்கோணம்
பாடத்திட்டத்தில் இருந்து obsolete என்று நீக்கப் பட்டு
விட்டது.
4) powerல் positive integer இருந்தால் binomial expansionல்
பாஸ்கல் முக்கோணத்தைப் பயன்படுத்தி,
விடை காண்பது எளிது. ஆனால், powerஇல் rational number
வரும்போது, பாஸ்கல் முக்கோணத்தை விட,
பைனாமியல் தேற்றமே பயன்படும்.
உ தாரணம்: (a+b)^2/3 etc.
5) பைனாமியல் தேற்றத்தை நியூட்டன்
rational indexக்கும் விரிவு செய்தார். அந்த expansion தான்
இப்போது 11ஆம் வகுப்பில் பாடமாக வைக்கப்
பட்டுள்ளது.
6) இந்தக் கணக்கில் விடையையும் நானே கொடுத்து
விட்டேன். expand செய்வது மட்டுமே வாசகர்களின் வேலை.
Expansion according to Binomial theorem. Not using Pascals triangle.
7) வாசகர்களுக்கு உள்ள வாய்ப்பை மறுக்கக்
கூடாது என்பதால்,விடையும் விளக்கமும் இறுதியில் வெளியிடப்படும். காகிதத்தில் எழுதி மொபைல் போனில்
படம் எடுத்து அதன் பிறகு வெளியிட உள்ளேன்.
-----------------------
கணக்கைச் செய்யுங்கள்! ஐன்ஸ்டின் ஆகுங்கள்!
-------------------------------------------------------------------------------------
பூமியில் கழிந்தது 10 ஆண்டு காலம். இதே 10 ஆண்டு
காலத்தில், விண்வெளிப் பயணத்தில் என்ன நேரம்
ஆகி இருக்கும் என்பதையே நாம் கண்டறிய வேண்டும்.
T (s)= T (according to stationary clock) = 10 years
T (m) = T (moving clock) = how much???
v = 0.9 c
c= c
Now use the formula (see the picture) and prove that T (m) = 4.4 years.
I have already asked our readers to store in memory the value of
"square root of 1 minus v squared divided by c squared". Use that value
and give the answer. இதற்கு மேல் மனக் கணக்கே!
-------------------
சந்திரனின் ஒளி பூமியை வந்தடைய
எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
-------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
-------------------------------------------------------------------
1) சூரியனுக்கும் பூமிக்கும் இடையிலான தூரம்
15 கோடி கி.மீ ஆகும். சந்திரனுக்கும் பூமிக்கும்
இடையிலான தூரம் ( சராசரியாக mean distance)
384,402 கி.மீ ஆகும்.
2) சூரியனில் இருந்து புறப்படும் ஒளி பூமியை வந்தடைய
தோராயமாக 8 நிமிடங்கள் ஆகும். சந்திரனில் இருந்து
புறப்படும் ஒளி பூமியை வந்தடைய எவ்வளவு
நேரம் ஆகும்?
3) மிக எளிமையான கணக்கீடு. எவரும் செய்து பார்த்து
அறியலாம்.
தூரம் = 384,402 கி.மீ
ஒளியின் வேகம் = வினாடிக்கு 300,000 கி.மீ
நேரம்= தூரம்/வேகம்
= 384402/300000
= 1.28 வினாடி.
4) ஆக, சந்திரனில் இருந்து வரும் ஒளி பூமியை
வந்தடைய தோராயமாக ஒன்றேகால் வினாடி
ஆகிறது.
*********************************************************
பின்குறிப்பு: அஸ்வினி, பரணி, கார்த்திகை, ரோகிணி
போன்ற நட்சத்திரங்களை நாம் அறிவோம். அஸ்வினி
நடச்சத்திரம் பூமியில் இருந்து எவ்வளவு தூரத்தில்
இருக்கிறது? இந்தக் கேள்விக்கு வாசகர்கள் விடையளிக்க
வேண்டுகிறோம்.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
27 நட்சத்திரங்களும் வெறும் நம்பிக்கை அல்ல; மாறாக
அவை உண்மையான இருப்பைக் கொண்டவை. எந்த
மதமும் தோன்றுவதற்கு முன்னரே ஆதி மனிதன்
நட்சத்திரங்களை அடையாளம் கண்டான். அவற்றின்
வடிவத்தை வைத்து அவருக்குப் பெயரிட்டான். அஸ்வினி
நட்சத்திரம் குதிரை வடிவம் கொண்டது. வராஹ மிகிரர்
தமது நூலில் இந்த நட்சத்திரத்திற்கு அஸ்வினி என்று
பெயரிடுகிறார். உலகின் வெவ்வேறு பிரதேசங்களில்
வாழ்ந்த மக்கள் தத்தம் மொழிகளில் நட்சத்திரங்களுக்கு
பெயரிடுகிறார்கள்.
**
துருவ நட்சத்திரம் என்று நாம் கூறுவதை pole star என்று
மேற்கில் உள்ள மக்கள் கூறுகிறார்கள்.மொழிதான்
வேறு; பொருள் ஒன்றுதான். அஸ்வினி என்று நாம்
பெயரிட்ட நட்சத்திரத்தை மேற்கத்திய மக்கள்
ஆல்பா பீட்டா என்று குறிப்பிடுகிறார்கள்.
**
பின்னாளில் வானியல் சங்கம் நட்சத்திரங்களுக்கு
வானியல் பெயரை (astronomical name) அளிக்கிறது.
தாவரங்களுக்கு botanical name இருப்பது போல.
எவ்வளவு நேரம் ஆகும்?
-------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
-------------------------------------------------------------------
1) சூரியனுக்கும் பூமிக்கும் இடையிலான தூரம்
15 கோடி கி.மீ ஆகும். சந்திரனுக்கும் பூமிக்கும்
இடையிலான தூரம் ( சராசரியாக mean distance)
384,402 கி.மீ ஆகும்.
2) சூரியனில் இருந்து புறப்படும் ஒளி பூமியை வந்தடைய
தோராயமாக 8 நிமிடங்கள் ஆகும். சந்திரனில் இருந்து
புறப்படும் ஒளி பூமியை வந்தடைய எவ்வளவு
நேரம் ஆகும்?
3) மிக எளிமையான கணக்கீடு. எவரும் செய்து பார்த்து
அறியலாம்.
தூரம் = 384,402 கி.மீ
ஒளியின் வேகம் = வினாடிக்கு 300,000 கி.மீ
நேரம்= தூரம்/வேகம்
= 384402/300000
= 1.28 வினாடி.
4) ஆக, சந்திரனில் இருந்து வரும் ஒளி பூமியை
வந்தடைய தோராயமாக ஒன்றேகால் வினாடி
ஆகிறது.
*********************************************************
பின்குறிப்பு: அஸ்வினி, பரணி, கார்த்திகை, ரோகிணி
போன்ற நட்சத்திரங்களை நாம் அறிவோம். அஸ்வினி
நடச்சத்திரம் பூமியில் இருந்து எவ்வளவு தூரத்தில்
இருக்கிறது? இந்தக் கேள்விக்கு வாசகர்கள் விடையளிக்க
வேண்டுகிறோம்.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
27 நட்சத்திரங்களும் வெறும் நம்பிக்கை அல்ல; மாறாக
அவை உண்மையான இருப்பைக் கொண்டவை. எந்த
மதமும் தோன்றுவதற்கு முன்னரே ஆதி மனிதன்
நட்சத்திரங்களை அடையாளம் கண்டான். அவற்றின்
வடிவத்தை வைத்து அவருக்குப் பெயரிட்டான். அஸ்வினி
நட்சத்திரம் குதிரை வடிவம் கொண்டது. வராஹ மிகிரர்
தமது நூலில் இந்த நட்சத்திரத்திற்கு அஸ்வினி என்று
பெயரிடுகிறார். உலகின் வெவ்வேறு பிரதேசங்களில்
வாழ்ந்த மக்கள் தத்தம் மொழிகளில் நட்சத்திரங்களுக்கு
பெயரிடுகிறார்கள்.
**
துருவ நட்சத்திரம் என்று நாம் கூறுவதை pole star என்று
மேற்கில் உள்ள மக்கள் கூறுகிறார்கள்.மொழிதான்
வேறு; பொருள் ஒன்றுதான். அஸ்வினி என்று நாம்
பெயரிட்ட நட்சத்திரத்தை மேற்கத்திய மக்கள்
ஆல்பா பீட்டா என்று குறிப்பிடுகிறார்கள்.
**
பின்னாளில் வானியல் சங்கம் நட்சத்திரங்களுக்கு
வானியல் பெயரை (astronomical name) அளிக்கிறது.
தாவரங்களுக்கு botanical name இருப்பது போல.
000000000000000000000000000000000000000
பூமியும் கையில் அடங்கும்!
--------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
-------------------------------------------------------
ஒரு லட்டு உங்கள் கைக்குள் அடங்குகிறது.
எலுமிச்சம் பழமும் கிரிக்கெட் பந்தும் அப்படியே.
கால்பந்து ஒரு கையில் அடங்காது. இரண்டு
கைகளாலும் அதைப் பிடித்துக் கொள்ளலாம்.
இவையெல்லாம் கோள (sphere) வடிவங்கள்.நமது
பூமியும் சற்றேறக்குறைய ஒரு கோளம்தான்.
ஒரு ராட்சச மனிதனைக் கற்பனை செய்யுங்கள்.
அவன் தன் கைகளால் மொத்த பூமியையும்
கட்டிப் பிடிக்கிறான் என்று வைத்துக்
கொள்ளுங்கள். அப்படியானால், அவனின் கை
எவ்வளவு நீளமாக இருக்க வேண்டும்? அதாவது
பூமியின் சுற்றளவு (circumference) என்ன?
எந்தப் புத்தகத்திலாவது இதற்கு விடை இருக்கிறதா
என்று தேட வேண்டாம். நீங்களே இதற்கு விடை
காணலாம். கணிதத்தில் ஓரளவு எளிய அறிவு
இருந்தால், நாமே பூமியின் சுற்றளவைக்
கணக்கிடலாம். இதற்கு ஒரே ஒரு விவரம் மட்டுமே
தேவை. அதாவது பூமி என்ற கோளத்தின் ஆரம்
என்ன என்று தெரிய வேண்டும்.
பூமியின் சராசரி ஆரம் (mean radius of earth) = 6371 கி.மீ.
பூமத்திய ரேகையின் அடிப்படையில் கணக்கிட்டால்,
பூமியின் ஆரம் (equatorial radius) = 6378 கி.மீ ஆகும்.
வட துருவத்திற்கும் தென் துருவத்திற்கும் இடையிலான
தூரத்தின் அடிப்படையில், பூமியின் ஆரத்தைக்
கணக்கிட்டால், ஆரம் (polar radius) = 6356 கி.மீ ஆகும்.
பூமத்திய ரேகைப்படியான ஆரத்தை விட,
இது சற்றுக் குறைவாக இருப்பதை கவனியுங்கள்.
ஏனெனில், துருவங்களில் பூமி தட்டையாக
இருக்கிறது. எனவேதான் ஆரம் குறைகிறது.
அதாவது பூமி என்பது ஒரு முழு நிறைவான
கோளம் அல்ல (not a perfect sphere).
சரி, இப்போது பூமிக் கோளத்தின் ஆரம் கிடைத்து
விட்டது. இந்த ஆரம் ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குகிறது.
அந்த வட்டத்தின் சுற்றளவே பூமியின் சுற்றளவு ஆகும்.
வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2 x pi x r
= 2 x 3.14 x 6371 km
= 40010 கி.மீ
அதாவது பூமியின் சுற்றளவு 40,000 கிமீ.
(நாற்பதாயிரம் கிமீ).
முன்பத்தியில் கூறப்பட்ட ராட்சச மனிதனின்
ஒவ்வொரு கையும் 20,000 கி.மீ நீளம் இருந்தால்,
அவனால் தன் இரண்டு கைகளையும் பயன்படுத்தி
பூமியை முழுவதுமாகக் கட்டிப் பிடிக்க முடியும்.
சரி, பூமியின் சுற்றளவு நாற்பதாயிரம் கி.மீ என்று
அறிந்து கொண்டோம். சந்திரனின் சுற்றளவு என்ன?
10910 கி.மீ ஆகும். அதாவது பூமியின் சுற்றளவில்
கால் பாகமே ஆகும்.
சூரியனின் சுற்றளவு என்ன? சூரியனின் ஆரம்
(solar radius) = 695 500 கி.மீ. அப்படியானால் சூரியனின்
சுற்றளவு = 4 367 740 கி.மீ . இது பூமியின் சுற்றளவைப்
போல் 110 மடங்கு பெரியது.
நினைவு வைத்துக் கொள்ள வசதியாக, தோராயமாக,
பூமியின் சுற்றளவு= நாற்பதாயிரம் கி.மீ என்றும்
சந்திரனின் சுற்றளவு = பத்தாயிரம் கி.மீ என்றும்,
சூரியனின் சுற்றளவு = 44 லட்சம் கி.மீ என்றும்
மனதில் பதித்துக் கொள்ளலாம்.
அல்லது, பூமி சந்திரன் சூரியனின் ஆரத்தை நினைவில்
பதியுங்கள். அதை ஆறால் பெருக்கினால், சுற்றளவு
(தோராயமாக) கிடைக்கும். 2x pi = 6 (appxly).
********************************************************************
--------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
-------------------------------------------------------
ஒரு லட்டு உங்கள் கைக்குள் அடங்குகிறது.
எலுமிச்சம் பழமும் கிரிக்கெட் பந்தும் அப்படியே.
கால்பந்து ஒரு கையில் அடங்காது. இரண்டு
கைகளாலும் அதைப் பிடித்துக் கொள்ளலாம்.
இவையெல்லாம் கோள (sphere) வடிவங்கள்.நமது
பூமியும் சற்றேறக்குறைய ஒரு கோளம்தான்.
ஒரு ராட்சச மனிதனைக் கற்பனை செய்யுங்கள்.
அவன் தன் கைகளால் மொத்த பூமியையும்
கட்டிப் பிடிக்கிறான் என்று வைத்துக்
கொள்ளுங்கள். அப்படியானால், அவனின் கை
எவ்வளவு நீளமாக இருக்க வேண்டும்? அதாவது
பூமியின் சுற்றளவு (circumference) என்ன?
எந்தப் புத்தகத்திலாவது இதற்கு விடை இருக்கிறதா
என்று தேட வேண்டாம். நீங்களே இதற்கு விடை
காணலாம். கணிதத்தில் ஓரளவு எளிய அறிவு
இருந்தால், நாமே பூமியின் சுற்றளவைக்
கணக்கிடலாம். இதற்கு ஒரே ஒரு விவரம் மட்டுமே
தேவை. அதாவது பூமி என்ற கோளத்தின் ஆரம்
என்ன என்று தெரிய வேண்டும்.
பூமியின் சராசரி ஆரம் (mean radius of earth) = 6371 கி.மீ.
பூமத்திய ரேகையின் அடிப்படையில் கணக்கிட்டால்,
பூமியின் ஆரம் (equatorial radius) = 6378 கி.மீ ஆகும்.
வட துருவத்திற்கும் தென் துருவத்திற்கும் இடையிலான
தூரத்தின் அடிப்படையில், பூமியின் ஆரத்தைக்
கணக்கிட்டால், ஆரம் (polar radius) = 6356 கி.மீ ஆகும்.
பூமத்திய ரேகைப்படியான ஆரத்தை விட,
இது சற்றுக் குறைவாக இருப்பதை கவனியுங்கள்.
ஏனெனில், துருவங்களில் பூமி தட்டையாக
இருக்கிறது. எனவேதான் ஆரம் குறைகிறது.
அதாவது பூமி என்பது ஒரு முழு நிறைவான
கோளம் அல்ல (not a perfect sphere).
சரி, இப்போது பூமிக் கோளத்தின் ஆரம் கிடைத்து
விட்டது. இந்த ஆரம் ஒரு வட்டத்தை உருவாக்குகிறது.
அந்த வட்டத்தின் சுற்றளவே பூமியின் சுற்றளவு ஆகும்.
வட்டத்தின் சுற்றளவு = 2 x pi x r
= 2 x 3.14 x 6371 km
= 40010 கி.மீ
அதாவது பூமியின் சுற்றளவு 40,000 கிமீ.
(நாற்பதாயிரம் கிமீ).
முன்பத்தியில் கூறப்பட்ட ராட்சச மனிதனின்
ஒவ்வொரு கையும் 20,000 கி.மீ நீளம் இருந்தால்,
அவனால் தன் இரண்டு கைகளையும் பயன்படுத்தி
பூமியை முழுவதுமாகக் கட்டிப் பிடிக்க முடியும்.
சரி, பூமியின் சுற்றளவு நாற்பதாயிரம் கி.மீ என்று
அறிந்து கொண்டோம். சந்திரனின் சுற்றளவு என்ன?
10910 கி.மீ ஆகும். அதாவது பூமியின் சுற்றளவில்
கால் பாகமே ஆகும்.
சூரியனின் சுற்றளவு என்ன? சூரியனின் ஆரம்
(solar radius) = 695 500 கி.மீ. அப்படியானால் சூரியனின்
சுற்றளவு = 4 367 740 கி.மீ . இது பூமியின் சுற்றளவைப்
போல் 110 மடங்கு பெரியது.
நினைவு வைத்துக் கொள்ள வசதியாக, தோராயமாக,
பூமியின் சுற்றளவு= நாற்பதாயிரம் கி.மீ என்றும்
சந்திரனின் சுற்றளவு = பத்தாயிரம் கி.மீ என்றும்,
சூரியனின் சுற்றளவு = 44 லட்சம் கி.மீ என்றும்
மனதில் பதித்துக் கொள்ளலாம்.
அல்லது, பூமி சந்திரன் சூரியனின் ஆரத்தை நினைவில்
பதியுங்கள். அதை ஆறால் பெருக்கினால், சுற்றளவு
(தோராயமாக) கிடைக்கும். 2x pi = 6 (appxly).
********************************************************************
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக