Ilango Arasiyal

 KATTURAI லீலாவதியில் இருந்து ஒரு கணக்கு!

---------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------
12ஆம் நூற்றாண்டின் இந்தியக் கணித நிபுணர்
பாஸ்கராச்சார்யர் எழுதிய லீலாவதி என்னும்
கணித நூலில் இருந்து ஒரு கேள்வி!
வாசகர்கள் விடையளிக்க வேண்டும்.

ஒரு நெக்லஸ் அறுந்து விட்டது. அதனுள் இருந்த
முத்துக்கள் சிதறி விட்டன. ஆறில் ஒரு பங்கு
முத்துக்கள் தரையிலும், ஐந்தில் ஒரு பங்கு முத்துக்கள்
படுக்கையிலும் கிடந்தன. மூன்றில் ஒரு பங்கு
முத்துக்களை அந்தப் பெண்ணும், பத்தில் ஒரு பங்கு
முத்துக்களை அப்பெண்ணின் கணவனும்
பிடித்து வைத்துக் கொண்டனர்.
நெக்லசோடு ஆறு முத்துக்கள் ஒட்டிக் கொண்டிருந்தன.
எனில் நெக்லசில் இருந்த மொத்த முத்துக்கள் எத்தனை?

விடையளியுங்கள்!
**************************************************
இதை மனக் கணக்காகச் செய்யலாம்.  அபி
12ஆம் நூற்றாண்டின் கணக்கு.
1/6 plus 1/5 plus 1/3 plus 1/10 = (5 + 6+10+3)/30
= 24/30 which implies the total pearls = 30.

சரியான விடை = 30 முத்துக்கள்.

லீலாவதி நூலில் உள்ள  இந்தக் கணக்கின்
மொழிபெயர்ப்பும் தழுவலுமே கணக்கதிகாரத்தில்
உள்ள கணக்கு.

கணக்கதிகாரம் என்ற நூல் சம்ஸ்கிருத நூல்களில்
உள்ள கணக்குகளின் மொழிபெயர்ப்பே என்று
கணக்கதிகாரத்தை எழுதிய காரி நாயனார்
கூறுகிறார். இரண்டு செய்யுட்கள் நூலின் பாயிரத்தில்
உள்ளன. இதை நேற்றே  எழுதி இருந்தேன்.

பாயிரம் என்றால் என்ன என்று பொருள் தெரியாதவன்
தமிழ்நாட்டில் உயிர் வாழ்ந்து கொண்டிருக்கிறான்.

மொழிபெயர்ப்பு என்பதன் ஒப்புதல் வாக்குமூலம்!
--------------------------------------------------------------------------
கீழ் வரும் செய்யுள் கணக்கதிகாரம் நூலின்
பாயிரத்தில் உள்ளது.

ஆரிய மொழியால்முன்ன ரந்தண ரெடுத்துரைத்த
கூரிய கணிதநூலைக் குவலயந் தன்னில் யானும்
சூரியன் றனக்குநேரே தோன்றுமின் மினிப்புழுப்போல்
சீரிய தமிழாற் சொல்வேன் சிறந்தவரிகழாரம்மா



இரண்டாம் செய்யுள். இதுவும் பாயிரத்தில் உள்ளது.
இதுவும் தெளிவான ஒப்புதல் வாக்குமூலம்!

பன்னு வடசொற் பனுவறனை யிப்பொழுது
கன்னித் தமிழ் வாயாற் கட்டுரைத்தேன் - முன்ன
மகிழ்கின்ற வெண்ணின் வழிவந்த கணக்கெல்லா
மிகழ்வின்றி யேயுரைப்பேன் யான்.
(கணக்கதிகாரம், பாயிரம்)

---------------------------------------------------------------------------------

பாஸ்கராச்சாரியார் 12ஆம் நூற்ராண்டில் வாழ்ந்த
இந்தியக் கணித மேதை. அவர் எழுதிய நூல்களில்
ஒன்று "லீலாவதி". அதில் இருந்து ஒரு கணக்கு.
பாஸ்கரரின் நினைவைப் போற்றும் விதத்தில்,
இந்தக் கணக்கை கணித மேதை சகுந்தலா தேவி
தம்முடைய PUZZLES TO PUZZLE YOU என்ற நூலில்
குறிப்பிட்டுள்ளார். அந்தக் கணக்கைப் பார்ப்போம்.

இந்தக் கணக்கின் வயது ஏறக்குறைய 1000. என்றாலும்
இக்கணக்கு இன்றும் இளமையுடன் திகழ்கிறது.
Age cannot wither her beauty என்ற ஷேக்ஸ்பியரின் கூற்று
கிளியோபட்ராவை விட பாஸ்கரரின் கணக்கிற்குச்
சிறப்பாகப் பொருந்துகிறது.

ஒளிரும் விழிகள் கொண்ட ஓர் அழகி என்னிடம்
கேட்டாள்:
ஓர் எண்ணை 3ஆல் பெருக்கி, வரும் பெருக்கற்பலனின்
முக்கால் பாகத்தை அத்துடன் கூட்டி, 7ஆல் வகுத்து,
வகுத்து வரும் ஈவின் மூன்றில் ஒரு பாகத்தை
அதிலிருந்து கழித்து வருவதை அதனாலேயே பெருக்கி,
52ஐக் கழித்து, வர்க்கமூலம் கண்டு, 8ஐக் கழித்து,
10ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது 2 என்றால், அந்த
எண் என்ன?

The original English version of the sum:
----------------------------------------------------
A beautiful maiden with beaming eyes asks me which is the number
that, multiplied by 3, then increased by three-fourths of the product,
divided by 7, diminished by one-third of the quotient, multiplied by
itself, diminished by 52, the square root found, addition of 8,
division by 10 gives the number 2?

விளக்கத்துடன் கூடிய விடைகள் வரவேற்கப்
படுகின்றன.
***************************************************************

இதுபோல் கணக்கதிகாரத்திலும் ஒன்று உண்டு. அது,

கோத்த முத்தணி குங்குமக் கொங்கையார்

கூடி யாடி குலாவும் கலவியில்

ஆர்த்த பாரிலொன் றஞ்சிலொன் றாறிலொன்

றமளி மெத்தை மேல் மிதந்திடு மூன்றிலொன்

றேத்த கணவன் பால் ஈரஞ்சும் ஈரெட்டும்

ஏலவார் குழல் கையினில் எட்டிலொன்று

ஓர்த்த நூலில் எழுபத்திரண்டுமே

உலகுள் ளோரிதைப் பகுந்திட வேணுமே

============================================

லீலாவதி நூலில் உள்ள இந்தக் கணக்கின்

மொழிபெயர்ப்பும் தழுவலுமே கணக்கதிகாரத்தில்

உள்ள கணக்கு.

கணக்கதிகாரம் என்ற நூல் சம்ஸ்கிருத நூல்களில்

உள்ள கணக்குகளின் மொழிபெயர்ப்பே என்று

கணக்கதிகாரத்தை எழுதிய காரி நாயனார்

கூறுகிறார். இரண்டு செய்யுட்கள் நூலின் பாயிரத்தில்

உள்ளன. இதை நேற்றே எழுதி இருந்தேன்.

பாயிரம் என்றால் என்ன?

----------------------------------------------------

மொழிபெயர்ப்பு என்பதன் ஒப்புதல் வாக்குமூலம்!

--------------------------------------------------------------------------

கீழ் வரும் செய்யுள் கணக்கதிகாரம் நூலின்

பாயிரத்தில் உள்ளது.

ஆரிய மொழியால்முன்ன ரந்தண ரெடுத்துரைத்த

கூரிய கணிதநூலைக் குவலயந் தன்னில் யானும்

சூரியன் றனக்குநேரே தோன்றுமின் மினிப்புழுப்போல்

சீரிய தமிழாற் சொல்வேன் சிறந்தவரிகழாரம்மா

----------------------------------------------

இரண்டாம் செய்யுள். இதுவும் பாயிரத்தில் உள்ளது.

இதுவும் தெளிவான ஒப்புதல் வாக்குமூலம்!

பன்னு வடசொற் பனுவறனை யிப்பொழுது

கன்னித் தமிழ் வாயாற் கட்டுரைத்தேன் - முன்ன

மகிழ்கின்ற வெண்ணின் வழிவந்த கணக்கெல்லா

மிகழ்வின்றி யேயுரைப்பேன் யான்.

(கணக்கதிகாரம், பாயிரம்)

------------------------------------------------------- ======

ஒரு எண் தனது இலக்கங்களின்
கூட்டுத்தொகையைப் போல் மூன்று மடங்கானது.
அந்த எண் எது? விடை தருக!
இது சகுந்தலா தேவியின் கணக்கு!

வாசகர்களிடம் இருந்து விடைகள் வரவேற்கப்
படுகின்றன. விடையளிக்குமாறு கட்டாயப்
படுத்துகிறோம். இதற்கு சகுந்தலா தேவி
அளித்த விடை இன்றிரவு வெளியிடப் படும்.


இந்தக் கணக்கில் உள்ள சௌகரியம்
என்னவென்றால்,நமது விடையை நாமே
சரிபார்த்துக் கொள்ளலாம் என்பதுதான்.

தவறான விடையை  எழுதி விடுவோமோ
என்று அஞ்சி விடையே எழுதாமல் இருப்பது
அறிவியலுக்கு எதிரானது. பிற்போக்குத்
தனமானது. Unless you attempt you wont gain knowledge.

neengale

நீங்களே உங்களுக்கான மதிப்பெண்ணை
வழங்கிக் கொள்ளலாம்.பின்வரும் முறையில்
மதிப்பெண் வழங்கவும்.
1. கணக்கைச் செய்யாதவர்கள் = 0/100
2.கணக்கைச் செய்தவர்கள்
(விடை தவறு என்றால்) = 75/100
3. கணக்கைச் செய்தவர்கள்
(சரியான விடையுடன்) = 95/100.

கணக்கைச் செய்யும் மனநிலை வாய்க்கப் பெறுதலே
சரியான விடை எழுதுவதை விட  முக்கியமானது
என்று நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம் கருதுகிறது.
இந்த மனநிலை இல்லாதவர்களே பரம ஏழைகள்!


இது சகுந்தலா தேவியின் கணக்கு. அவரின்
நூல்களில் இருந்து எடுக்கப் பட்டது. இது முற்றிலும்
கணித அடிப்படையிலானது. அதே நேரத்தில்
தர்க்கம் (logic) என்பதும் கணிதத்தின் ஒரு
கூறே என்பதையும் மனதில் இருத்துக.


சரியான விடையும் விளக்கமும்!
-----------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------
13...sum 4, 4x3 =12, எண்ணை விட sum 1 குறைகிறது.
14....sum 5, 5x 3= 15, எண்ணை விட sum 1 கூடுகிறது.
15.... sum 6, 6x3 =18  எண்ணை விட sum 3 கூடுகிறது.
இதிலிருந்து 10 to 19 வரையிலான எண்களில்
தீர்வு இருக்க வாய்ப்பில்லை என்று தெரிகிறது.

அடுத்து 20 to 29 வரை பார்க்க வேண்டும்.
இதில் 27 விடையாக அமைந்து விடுகிறது.

அடுத்து வேறு எதுவும் விடையாக அமைகிறதா
என்று பார்க்க வேண்டும். அதாவது இக்கணக்கிற்கு
UNIQUE SOLUTION உள்ளதா என்று பார்க்க வேண்டும்.

மூன்று இலக்க எண்ணைக் கருதுக. அதிகபட்சமாக
999 என்ற எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால்,
SUM= 9+9+9 =27 என்று வரும். 27x 3 =81தான். இதிலிருந்து
மூன்று இலக்க எண் விடையாக அமைவதில்லை
என்று புரிகிறது.

ஆக, 27 என்பது சரியான விடை என்பது
மட்டுமல்ல, இது மட்டுமே சரியான விடை
என்பதும் புலப்படுகிறது.

இக்கணக்கை "ஒருபடிச்சமன்பாடுகள்" என்ற
வகையில் தீர்ப்பதற்கு 10ஆம் வகுப்பில்
சொல்லித் தரப்பு படுகிறது. அந்த எண்ணை
10x+y என்று எடுத்துக் கொண்டு முறையாகச்
செய்தால் விடை வாசலில் வந்து கதவைத் தட்டும். 

கணக்கை முயற்சி செய்த, விடை எழுதிய,
விடைக்கு விளக்கமும் எழுதிய அனைவருக்கும்
நன்றி.

போட்டித் தேர்வு எழுதுவோர்
வாங்கிப் படிக்க வேண்டிய புத்தகம்!
--------------------------------------------------------------
நேரடியாக ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்தி
விடையைக்  கண்டுபிடிப்பது போல
எளிதானவை  அல்ல சகுந்தலா தேவியின்
கணக்குகள். சிந்திக்க வைப்பவை அவை.
எனவேதான் இன்றும் கூட சகுந்தலாதேவியின்
கணக்குகள் அதிக அளவில் விற்பனை
ஆகின்றன. பல்வேறு பிரபல நிறுவனங்களில்
வேலை தேடுவோர் எழுதும் போட்டித் தேர்வில்
சகுந்தலா தேவி கணக்குகள் கேட்கப்
படுகின்றன.

இந்த ஆண்டுப் புத்தகச் சந்தையில் சகுந்தலா
தேவியின் கீழ்வரும் புத்தகங்களை வாங்குங்கள்.
உங்கள் பிள்ளைகள் போட்டித் தேர்வு எழுதும்
பருவத்தில் இருப்பவர்களா? கண்டிப்பாக
சகுந்தலா தேவியின் புத்தகங்களை வாங்குங்கள்.
1. Puzzles to puzzle you.
2. More puzzles to puzzle you.
And many more.       
******************************************* 

தர்க்கமும் கணிதமும்!
--------------------------------------
வடிவியலில் (geometry) பல தேற்றங்களைத்
தர்க்க அடிப்படையில்தான் நிரூபித்து
இருக்கிறார்கள். a என்பது bக்குச் சமம் என்று
நிரூபிக்க வேண்டும். நேரடியாக அப்படி
நிரூபிக்க இயலவில்லை. எனவே தர்க்கத்தை
நாடுகிறோம்.

a என்பது bஐ விடப்  பெரியதாக இல்லை
என்று நம்மால் நிரூபிக்க முடிகிறது;
அடுத்து, a என்பது bஐ  விடச் சிறியதாக இல்லை
என்றும் நம்மால் நிரூபிக்க முடிகிறது என்றும்
வைத்துக் கொள்வோம்.

இப்போது a is not greater than b and not less than b. This implies
that a must be equal to b என்று முடிவுக்கு வருகிறோம்.
இது தர்க்க வழியில் வந்தடைந்த முடிவு.
So maths includes logic. Logic is an inherent component of maths.       


நியூட்டன் அறிவியல் மன்றத்தின் பதிவுகளைப்
படிப்பவர்கள் தற்கொலை செய்து கொள்ள
மாட்டார்கள் என்று உத்தரவாதம் தருகிறோம்!

அடக்க விலைக்கே விற்பதாகக் கூறும் ஒருவனின்
1 கிலோ எடைக்கல் 800 கிராம் மட்டுமே இருக்கும்.
எனில் அவனின் லாபம் எத்தனை சதம்?  என்ன
(INFOSYS aptitude test) 

எடைக்கல்லில் மோசடி செய்கிறான் அல்லவா?
அவனிடம் 1 kg வாங்கினால் 800 gram தானே இருக்கும்.
நேர்மையற்ற விதத்தில் லாபம் சம்பாதிக்கிறான். 

-----------------------------