மூளையைச் சாணை பிடிக்கும் சுடோக்குப் புதிர்கள்!
------------------------------------------------------------------------------
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
-----------------------------------------------
சுடோக்கு என்பது தர்க்கத்துடன் கூடிய ஒரு எண்புதிர்.
அவ்வளவுதான்! சுடோக்குப் புதிர்களை விடுவிக்க
தர்க்க அறிவு இருந்தால் போதும்; எண்கணித (arithmetic) அறிவு
தேவையில்லை. ஏனெனில் இப்புதிருக்குத் தீர்வு காண்கையில்
கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல் ஆகிய நான்கு அடிப்படைக்
கணிதச் செயல்பாடுகளுக்கு வேலையே இல்லை. எனினும்
இக்கூற்று எளிய சுடோக்கு புதிர்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
கடினமான புதிர்களை விடுவிக்க கூடுதலான கணித அறிவு தேவைப்படுகிறது.
இருபதாம் நூற்றாண்டின் பிற்பகுதியில் ஜப்பானில் தோன்றிய
சுடோக்கு, 21ஆம் நூற்றாண்டில் உலகெங்கும் பரவியது.
என்றாலும் இதன் வேர்கள் 18ஆம் நூற்றாண்டுக் கணித
மேதையும் சுவிட்சர்லாந்து நாட்டவருமான லியனார்டு ஆய்லர்
வரை (Leonard Euler 1707-1783) செல்கின்றன. 1780களில் லத்தீன்
சதுரங்கள் (Latin Squares) என்பனவற்றை ஆய்லர் உருவாக்கி இருந்தார்.
லத்தீன் சதுரம் என்பது ஒரு சதுர வடிவிலான n x n எண்ணடை
(grid) ஆகும். இதில் n நிரைகளும் n நிரல்களும் இருக்கும்.
அவை n எழுத்துக்களால் (அல்லது எண்களால்) நிரப்பப்படும்
(A grid of n rows and n columns filled with n symbols). ஒவ்வொரு நிரை
மற்றும் நிரலிலும் ஒரு எழுத்து ஒரு முறை மட்டுமே இடம் பெறும்.
எண்களுக்குப் பதில் லத்தீன் எழுத்துக்களை ஆய்லர்
பயன்படுத்தியதால் இவை லத்தீன் சதுரங்கள் என்று பெயர் பெற்றன.
நவீன கால சுடோக்கு என்னும் சதுர எண்ணடைக்கு (square grid)
முன்னோடியாக இருந்தவை லத்தீன் சதுரங்களே.
சுடோக்கு (sudoku) என்பது ஜப்பானிய மொழிச்சொல். சு (Su) என்றால்
எண் என்று பொருள். டோக்கு (doku) என்றால் உரிய இடம் என்று
பொருள்.சுடோக்கு என்றால் தனக்குரிய இடத்தில் அமர்ந்த எண்
என்று பொருள்.
சுடோக்குப் புதிர் அதன் இன்றைய வடிவத்தில் முதன் முதலாக
1986ல் ஜப்பானில் வெளியானது. கணிதப் புதிர்களுக்கென்றே
உள்ள நிக்கோலி என்னும் ஜப்பானிய நிறுவனம் (Nikoli co Ltd),
தங்களின் "மந்த்லி நிக்கோலிஸ்ட்" (Monthly Nikolist) என்னும்
பத்திரிகையில் சுடோக்கு என்ற பெயரில் இப்புதிரை வெளியிட்டது. (இந்தியாவில் கணிதப் புதிர்களுக்கென்று
ஒரு பத்திரிகை என்பதை நினைத்தாவது பார்க்க முடியுமா?)
நிக்கோலி ஏட்டில் வெளியான புதிரை ஒரு அமெரிக்க ஏடு
பிரசுரித்தது. இதன் மூலம் ஜப்பானின் சுடோக்கு அமெரிக்காவுக்குச்
சென்றது. இருப்பினும் இந்த மில்லேனியத்திற்குப் பின்னர்தான்
சுடோக்குப் புதிர் ஒரு உலகளாவிய தன்மையை அடைந்தது.
2004ல் டைம்ஸ் ஏடு (லண்டன்) இப்புதிரை வெளியிட்டது.
இதன் விளைவாக சுடோக்கு ஐரோப்பியக் கண்டமெங்கும்
பரவியது. தொடர்ந்து உலகெங்கும் பரவியது.
இந்தியாவில் 2005ஆம் ஆண்டில் சுடோக்கு நுழைந்தது.
இந்தியாவில் பல்வேறு ஆங்கில தினசரிகள் சுடோக்குப்
புதிர்களை தங்களின் பத்திரிகையில் தினமும் வெளியிட்டன.
ஆங்கில இந்து ஏட்டில் (The Hindu) வெளியான சுடோக்குப்
புதிர்கள் வாசகர்களிடம் மிகுந்த வரவேற்பைப் பெற்றிருந்தன.
தினசரி இரண்டு சுடோக்குப் புதிர்களை வெளியிட்டு
சுடோக்கு ஆர்வலர்களை ஈர்த்தது டெக்கான் குரோனிக்கில் ஏடு.
வெவ்வேறு கடினத் தன்மைகளைக் கொண்ட புதிர்களை
இந்து ஏடு வெளியிட்டது. மிகவும் எளிது, எளிது, இயல்பு,
கடினம், மிகக் கடினம் ஆகிய ஐந்து தரங்களில் இதன்
புதிர்கள் அமைந்திருந்தன. இவ்வேடு தற்போது வெளியிட்டு
வரும் புதிர்களின் கடினத் தன்மை நட்சத்திரங்களின்
எண்ணிக்கை கொண்டு அளக்கப் படுகிறது. எளிமையான
புதிருக்கு ஒரு நட்சத்திரத்தையும், மிகக் கடினமான புதிருக்கு
ஐந்து நட்சத்திரத்தையும் வழங்குகிறது இந்து ஏடு.
மிகவும் தாமதமாக 2005ல்தான் இந்தியாவில் சுடோக்கு
அறிமுகமான போதிலும், விரைவிலேயே அது கோடிக்கணக்கான வாசகர்களைப் பற்றிக் கொண்டது. பலர் சுடோக்கு மீது
"விடுதல் நீங்கா விருப்பு"டன் பித்துப் பிடித்துத் திரிந்தனர்.
அலுவலகங்களில் வேலைநேரத்தில் வேலையைச் செய்யாமல்,
சுடோக்கில் மூழ்கிக் கிடக்கும் (Sudoku addicts) சிலர் ஒவ்வொரு
அலுவலகத்திலும் இருந்தனர்.
இன்றைய 2021ல் சுடோக்கு இந்தியாவுக்கு வந்து 16 ஆண்டுகள்
ஆகி விட்டாலும் அதன் மீதான கவர்ச்சி மங்கவில்லை.
இன்றும் இளமையுடன் திகழும் சுடோக்கு, இளைஞர்கள் முதல்
கிழவர்கள் வரை ஆடவர் பெண்டிர் அனைவரையும் ஈர்க்கிறது.
சுடோக்குப் பித்தர்களின் (addicts) எண்ணிக்கை குறையவில்லை.
சுடோக்கு 9 x 9 அளவிலான சதுர எண்ணடை (square grid) ஆகும்.
இதில் மொத்தம் 81 (9x 9 = 81) கட்டங்கள் உள்ளன. 9 நிரைகள்,
9 நிரல்கள், 9 குறுஞ்சதுரங்கள் ஆகியவற்றைக் கொண்டதே
சுடோக்கு. ஒரு குறுஞ்சதுரத்தில் 9 கட்டங்கள் இருக்கும்.
ஒவ்வொரு நிரையும் ஒவ்வொரு நிரலும் ஒவ்வொரு குறுஞ்சதுரமும்
1 முதல் 9 முடிய உள்ள 9 எண்களைக் கொண்டு நிரப்பப்பட
வேண்டும். ஒவ்வொரு நிரல், நிரை, குறுஞ்சதுரத்திலும்
1,2,3,4,5,6,7,8,9 ஆகிய 9 எண்களும் கண்டிப்பாக இடம் பெற்றிருக்க
வேண்டும். அதே நேரத்தில், எந்த ஒரு நிரல், நிரை,
குறுஞ்சதுரத்திலும் ஒரு எண் ஒரு முறைக்கு மேல் இடம் பெற்றுவிடக்
கூடாது. மேற்கூறிய நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்டு அமைக்கப்
படுவதே சுடோக்கு ஆகும்.
சுடோக்குப் புதிர் என்பது என்னவென்றால், ஒரு சுடோக்கில்
உள்ள 81 கட்டங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு கட்டங்களை
நிரப்பி விட்டு, மீதிக் கட்டங்களை நிரப்புமாறு பார்வையாளர்களைக்
கோருவதாகும். ஒரு சராசரி சுடோக்கு இப்படி இருக்கும்;
அதில் 30 கட்டங்கள் நிரப்பப்பட்டு இருக்கும். மீதி 51 கட்டங்களை பார்வையாளர்கள் நிரப்ப வேண்டும். அல்லது 26 கட்டங்கள்
நிரப்பப்பட்டும் 55 கட்டங்கள் நிரப்பப் படாமலும் இருக்கும்.
நிரப்பப்பட்ட கட்டங்களை புதிரைத் தீர்க்க உதவும் குறிப்புகள்
(clues) என்று வைத்துக் கொள்வோம். இப்போது ஒரு கேள்வி
எழுகிறது. ஒரு சுடோக்கு புதிரைத் தீர்க்க வேண்டுமாயின்
குறைந்தபட்சம் எத்தனை குறிப்புகள் கொடுக்கப்பட
வேண்டும்?
அயர்லாந்து நாட்டவரான கேரி மாக் குயிர் (Gary Mc Guire)
என்னும் கணித நிபுணர் மீக்கணினி (super computer) உதவியுடன்
இதற்கு ஒரு விடை கண்டு பிடித்தார். அதன்படி குறைந்த
பட்சமாக 17 குறிப்புகள் கொடுக்கப் பட்டிருந்தால் மட்டுமே .
(At least 17 clues are needed for a valid puzzle with unique solution)
முறையான ஒரு சுடோக்குப் புதிரை ஒற்றைத் தீர்வுடன்
(unique solution) தீர்க்க இயலும் என்றார் அவர்.
புதிதாக ஒரு விஷயம் வரும்போது, சிறிது காலத்திலேயே
அதன் மாற்று வடிவங்கள் (variants) உருவாகிப் புழக்கத்துக்கு
வந்து விடும். சுடோக்குவுக்கும் கணிசமான மாற்று வடிவங்கள்
ஏற்பட்டன. செவ்வக வடிவிலான சுடோக்கு, 9 x 9 அளவுடைய பொதுவடிவத்திற்குப் பதிலாக, அதை விடப் பெரிய
அளவிலான 16 x 16 சுடோக்கு போன்ற மாற்று வடிவங்களும்
தோன்றின. அவையும் மக்களிடம் செல்வாக்குப் பெற்றன.
"கொடிய சுடோக்கு" (Evil Sudoku) எனப்படும் மீக்கடின
சுடோக்குகளும் உள்ளன. பொதுவாக இவை சுடோக்கு
நிபுணர்களால் மட்டுமே தீர்க்கக் கூடியவை. இவற்றுக்கும்
சமூகத்தில் ஆதரவு உள்ளது. சாதாரண சுடோக்குகளால்
திருப்தியுறாத கணிசமான பிரிவினர் தங்களின் மூளைக்குச்
சவாலாக அமையும் "கொடிய சுடோக்கு"களைத் தீர்த்து
தங்களின் அறிவைக் கூர்தீட்டிக் கொள்கின்றனர்.
இணையத்தில் கணக்கு வழக்கே இல்லாமல் வித விதமான
சுடோக்குப் புதிர்கள் கொட்டிக் கிடக்கின்றன. இப்புதிர்களைத்
தீர்க்கும் வழிகளைச் சொல்லித் தரும் நிறைய வீடியோக்களும்
யூடியூப்பில் (YouTube) கிடைக்கின்றன. இவற்றுள் பலவும்
இலவசமே. யார் வேண்டுமானாலும் சுடோக்குப் புதிர்களை
இணையத்தில் இருந்து பதிவிறக்கம் செய்துகொண்டு
புதிர்களைத் தீர்த்து மகிழலாம். முன்புபோல சுடோக்குப்
புதிர்களுக்காக நாளிதழ்களைச் சார்ந்திருக்க வேண்டிய
நிலை இன்று இல்லை.
சுடோக்குப் புதிர்களைத் தீர்ப்பது எளிது. பின் எது கடினம்
என்றால், சுடோக்குப் புதிர்களை உருவாக்குவதுதான்.
இதற்கு கணிதப்புலமை தேவை. அல்ஜிப்ராவில் உள்ள
"பன்மாற்ற அமைவும் பல்சேர்க்கை"யும் (Permutations and combinations)
என்ற இயலில், நல்ல தேர்ச்சி பெற்றிருந்தால் மட்டுமே
சுடோக்குப் புதிர்களை உருவாக்க இயலும். சுடோக்கு குறித்த
எல்லாக் கேள்விகளுக்கும் விடையளிக்க வேண்டுமெனில்
ஒருவர் "குழுக்கொள்கை" (Group theory), சேர்க்கையியல்
(combinatorics) ஆகிய இரண்டிலும் தேர்ந்த புலமை
பெற்றிருக்க வேண்டும். :
ஒரு செவ்வியல் (classical) 9 x 9 சுடோக்கைக் கருதுவோம்.
இதில் ஏதேனும் ஒரு நிரையை (row) எடுத்துக் கொண்டால்,
அதை எத்தனை வழிகளில் நிரப்பலாம்? உதாரணமாக
முதல் நிரையை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் 9 கட்டங்கள்
உள்ளன. இதை பின்வருமாறு நிரப்புவோம். முதல் கட்டத்தில்
1ஐ இடலாம். அல்லது 2ஐ இடலாம். அல்லது 3ஐ, 4ஐ, 5ஐ இப்படி
ஏதாவது ஒரு எண்ணை இடலாம். இவ்வாறு மொத்தமுள்ள
9 எண்களில் எதை வேண்டுமானாலும் முதல் கட்டத்தில்
இடலாம் அல்லவா?
இதன் பொருள் என்ன? முதல் கட்டத்தை 9 வழிகளில் நிரப்பலாம்
என்பதுதானே! சரி, அடுத்து அதே நிரையின் 2ஆவது
கட்டத்தை நிரப்ப முயல்வோம். இக்கட்டத்தை நிரப்புவதற்கு
நம்மிடம் 8 எண்களே உள்ளன. ஒரு எண்ணைக் கொண்டு
முதல் கட்டத்தை நிரப்பி விட்டபடியால் மீதி இருப்பவை
8 எண்கள் மட்டுமே. சுடோக்கு விதிகளின்படி,
ஒரு நிரையில் (அல்லது ஒரு நிரலில்) ஒரு எண் ஒரு முறை
மட்டுமே இடம் பெற வேண்டும். எனவே முதல் கட்டத்தை
நிரப்பப் பயன்பட்ட எண்ணை மீதி எந்தக் கட்டத்துக்கும்
பயன்படுத்தக் கூடாது. ஆகவே இரண்டாம் கட்டத்தை
நம்மிடம் உள்ள 8 எண்களைக் கொண்டே நிரப்ப வேண்டும்.
அதன்படி 8 வழிகளில் நிரப்பலாம் அல்லவா!
இது போலவே, மூன்றாம் கட்டத்தை 7 வழிகளிலும்,
நான்காம் கட்டத்தை 6 வழிகளிலும், ஐந்தாம் கட்டத்தை
5 வழிகளிலும் நிரப்பலாம். மேலும் , ஆறாம், ஏழாம், எட்டாம், ஒன்பதாம் கட்டங்களை முறையே 4 வழி, 3 வழி, 2 வழி,
1 வழியிலும் நிரப்பலாம்.
இவ்வாறு முதல் நிரையின் 9 கட்டங்களையும் தனித்தனியே நிரப்ப
முறையே 9, 8, 7,......,2, 1 என்று வழிகள் உள்ளன. தனித்தனியான
இந்த வழிகளில் இருந்து, ஒரு நிரை முழுவதையும்
நிரப்புவதற்கான மொத்த வழியைக் கண்டறிய வேண்டும்.
எப்படிக் கண்டறிவது? இந்த 9 கட்டங்களின் வழிகளையும்
கூட்டலாமா? கூட்டக் கூடாது. கூட்டினால் 45 வரும். இது
சரியான விடை அல்ல.
அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும். அதுவே சரியானது.
எனவே மொத்த வழிகள் (9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) ஆகும்.
இது தொடர்பெருக்கம் 9 (factorial 9) அல்லவா? இதன் மதிப்பு
3,62,880 ஆகும். ஆக, ஒரு செவ்வியல் 9 x 9 சுடோக்கில்
எந்த ஒரு நிரையையோ (row) அல்லது எந்த ஒரு நிரலையோ (column)
3,62,880 வழிகளில் நிரப்பலாம். மூன்றரை லட்சத்துக்கும்
மேலான இந்த எண் பிரமிப்பைத் தருகிறது.
இதைத் தொடர்ந்து, 9 x 9 அளவிலான மொத்த சுடோக்கு
சதுரத்தையும் எத்தனை வழிகளில் நிரப்பலாம் என்ற
கேள்வி எழுகிறது. அதாவது 81 கட்டங்களும் விதிகளின்படி
சரியாக நிரப்பப்பட்ட எத்தனை சுடோக்கு சதுரங்களை
உருவாக்க இயலும் என்பதே கேள்வி. 2003ல் இதற்கு
விடையளித்தார் ஒருவர். அந்த விடை சரியானதுதான்
என்று 2005ல் கணித நிபுணர்கள் உறுதி செய்தனர்.
QSCGZ என்னும் புனைபெயர் கொண்ட கணித நிபுணரான
ஒரு வாசகர் "rec puzzles news group " என்னும் செய்திக் குழுமத்துக்கு
அனுப்பிய குறிப்பில் மேற்கூறிய விடை உள்ளது.
அதன்படி, முழுவதும் சரியாக நிரப்பப்பட்ட 6,670,903,752,021,072,936,960
சுடோக்கு சதுரங்களை உருவாக்க இயலும். இந்த விடை.
22 இலக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு பிரம்மாண்டமான
எண் ஆகும். அறிவியல் குறியீட்டின்படி (scientific notation)
இதை 6.67 x 10^21 என்று கூறலாம்.
அறிவியல் குறியீட்டு முறைப்படி,நவீன காலப் பேரெண்கள்
10ன் அடுக்குகளாகக் கூறப்படுகின்றன. மில்லியன் (10^6),
பில்லியன் (10^9), டிரில்லியன் (10^12), குவாட்ரில்லியன் (10^15),
குவின்டில்லியன் (10^18), செக்ஸ்டில்லியன் (10^21),
செப்டில்லியன் (10^24) என்று தொடரும் இவ்வெண்கள்
10^100 எனப்படும் கோகோலில் (Googol) சற்று நிறுத்திக்
கொண்டு மேலும் தொடர்கின்றன. மேற்கூறிய பேரெண்களின்
பெயர்கள் அமெரிக்கப் பெயரிடும் முறையைப் பின்பற்றி
அமைந்தவை.
இப்போதெல்லாம் கணிதம், வானியல் போன்ற
துறைகளில் பேரெண்கள் இயல்பாகப் புழங்கி வருகின்றன.
எனவே பேரெண்கள் குறித்த அறிவு அறிவியல் ஆர்வல ர்களுக்கு
மட்டுமின்றி, ஊடகத்தினர் உள்ளிட்ட சமூகத்தின் அனைத்துப்
பிரிவினருக்கும் தேவையாகி விட்டது. ரூபிக்கின் கனசதுரம்
(Rubik's cube) எனப்படும் புதிர் விளையாட்டில்
3 x 3 x 3 அளவிலான ஒரிஜினல் ரூபிக்கின் கனசதுரத்தில்
43,252,003,274,489,856,000 சேர்க்கைகள் (combinations) சாத்தியம்
என்று அறிகிறோம். இது 43 குவின்டில்லியன் அளவிலான
பேரெண் ஆகும்.
சுடோக்கு குறித்த விடையான 6,670,903,752,021,072,936,960 என்னும்
மாபெரும் எண் 22 இலக்கங்களைக் கொண்டிருப்பதால்
தமிழில் உள்ள லட்சம், கோடி என்னும் அளவுகளைக் கொண்டு
அவ்வெண்ணைக் கூற இயலாது. இந்த எண் செக்ஸ்டில்லியன்
அளவுடைய எண்ணாகும். இதை எப்படிச் சொல்லுவது, எப்படி
எழுதுவது என்று நமக்குத் தெரிந்திருக்க வேண்டும்.
கேள்வி: 6,670,903,752,021,072,936,960 என்ற பேரெண்ணை எழுத்தால்
எழுதுக.
பதில்: 6 செக்ஸ்டில்லியன் 670 குவின்டில்லியன் 903 குவாட்ரில்லியன்
752 டிரில்லியன் 21 பில்லியன் 72 மில்லியன் 936 ஆயிரங்கள் உடன்
தொள்ளாயிரத்து அறுபது.
இறுதியாக ஒரே ஒரு கேள்வி எஞ்சுகிறது. சுடோக்குப் புதிர்களைத்
தீர்ப்பது எப்படி? இக்கேள்விக்கான விடை நிறையப் பக்கங்களைக்
கோரும். ஒரே ஒரு உத்தியை (technique) விளக்க முற்பட்டால் கூட, அதற்கு
இரண்டு பக்கங்கள் ஆகிவிடும். இக்கட்டுரையில் அவ்வுத்திகளை அடக்க
முயல்வது தென்மேற்குப் பருவக் காற்றை பலூனுக்குள் அடைக்கும்
முயற்சியாகும். எனவே அதை ஒரு தனிக்கட்டுரையாக பின்னர் காண்போம்.
பள்ளிக் குழந்தைகள் முதல் கல்லூரி மாணவர்கள் வரை
சுடோக்குப் புதிர்களுக்காக தினமும் குறைந்தது 15 நிமிடம் வரை
செலவழிப்பது நல்லது. வாசகர்களே, உங்களின் மூளையைச்
சாணை பிடிக்கும் சுடோக்குப் புதிர்களை விடுவிப்பதை உங்களின் அன்றாட வேலையாக ஆக்கிக் கொள்ளுங்கள். கடினமான புதிர்களை
விடுவித்துப் புளகாங்கிதம் (horripilation) அடையுங்கள்.
***************************************************************************
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக