லீலாவதி முதல் சகுந்தலாதேவி வரை!
-----------------------------------------------------------
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
------------------------------------------------------
வீட்டில் இருந்து மணிக்கு 20 கிமீ வேகத்தில் சென்றால், 4 நிமிடம்
தாமதமாக கல்லூரியை அடையும் ராதா, வேகத்தைச் சிறிது அதிகரித்து மணிக்கு 25 கிமீ வேகத்தில் சென்றால், கல்லூரி
திறப்பதற்கு 2 நிமிடம் முன்பே அங்கு சென்று விடுகிறாள்.
எனில் ராதாவின் வீட்டில் இருந்து கல்லூரி எவ்வளவு தொலைவில்
உள்ளது?
இன்போசிஸ் நிறுவனத்தில் (Infosys) வேலை வேண்டுமெனில்
அந்நிறுவனம் நடத்தும் கணிதத் தேர்வில் வெற்றி பெற வேண்டும்.
அத்தேர்வில் கேட்கப்பட்ட ஒரு கேள்வியே மேலே நீங்கள் காண்பது.
அதன் விடையை நானே சொல்லி விடுகிறேன். கல்லூரிக்கும்
வீட்டுக்குமான தொலைவு 10 கிமீ.
இன்னொரு கணக்கு. இதன் விடையைச் சொல்லும் பேறு
வாசகர்களுக்கு உரித்தானது.
அடக்க விலைக்கே விற்பதாகக் கூறும் ஒருவனின்
1 கிலோ எடைக்கல் 800 கிராம் மட்டுமே இருக்கும் எனில்இன்போசிஸ் நிறுவனரான நாராயணமூர்த்தி ஐஐடி கான்பூரில்
பொறியியலில் முதுநிலைப் பட்டம் பெற்றவர். கணிதத்தின்
முக்கியத்தை நன்கறிந்தமையால் வேலை தேடுவோரிடம் இருந்து
சிறப்பான கணித அறிவைக் கோருகிறார்.
இன்போசிஸ் மட்டுமின்றி, அதிக ஊதியம் தரும் புகழ்பெற்ற பன்னாட்டு நிறுவனங்களில் வேலைக்குச் சேர வேண்டுமெனில் அந்நிறுவனங்கள் நடத்தும் கடினமான கணிதத் தேர்வில் வெற்றிபெற வேண்டும்.
கணித அறிவு இல்லையேல் வேலைவாய்ப்பு இல்லை என்பதே
சந்தை நிலவரம்.
மறைந்த நம் நாட்டுக் கணிதமேதை சகுந்தலாதேவியின் (1929-2013)
கணிதப் புதிர்கள் புத்தகங்களாக உள்ளன. பன்னாட்டு
நிறுவனங்களின் வேலைக்கான தேர்வுகளில் அவற்றில் இருந்து
கேள்விகள் கேட்கப் படுகின்றன. எனவே போட்டித்தேர்வு எழுதுவோர் சகுந்தலா தேவியின் "Puzzles to puzzle you,"
"More puzzles to puzzle you" ஆகிய புத்தகங்களில் உள்ள
கணக்குகளைச் செய்து பழக வேண்டும். பொழுதுபோக்காகப்
படித்தால் கூட, 12ஆம் வகுப்பு தேறிய ஒருவனால், ஒரு மாத
காலத்திற்குள், அதாவது ஒரு கோடை விடுமுறை முடிவதற்குள்
சகுந்தலா தேவியின் புதிர்களைக் கரைத்துக் குடித்து விட முடியும்.
நேரடியாக சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விடையைக் கண்டுபிடிப்பது
போல எளிதானவை அல்ல சகுந்தலா தேவியின் கணக்குகள்.
அவை சிந்திக்க வைப்பவை. தர்க்க அறிவைக் கோருபவை.
எனவேதான் இன்றும் கூட சகுந்தலாதேவியின் கணக்குப்
புத்தகங்கள் அதிக அளவில் விற்பனை ஆகின்றன.
தர்க்கமும் கணிதமும்!
--------------------------------------
a என்பது bக்குச் சமம் என்று நிரூபிக்க வேண்டும். நேரடியாக அப்படி
நிரூபிக்க இயலாதபோது தர்க்கத்தை நாடுகிறோம்.
a என்பது bஐ விடப் பெரியதாக இல்லை என்று நம்மால் நிரூபிக்க
முடிகிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். அடுத்து a என்பது bஐ விடச் சிறியதாக இல்லை என்றும் நிரூபிக்க முடிகிறது என்று
வைத்துக் கொள்வோம்.
இப்போது a என்பது bஐ விடப் பெரியதாகவும் இல்லை, சிறியதாகவும்
இல்லை என்பதால் a என்பது bக்குச் சமம் என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்.
இது தர்க்க வழியில் வந்தடைந்த முடிவு. தர்க்கம் என்பது கணிதத்தின்
உள்ளடங்கிய கூறு.
சகுந்தலா தேவியின் இன்னொரு கணக்கைப் பார்ப்போம்.
செய்தால் விடை வாசலில் வந்து கதவைத் தட்டும்
எனினும் அல்ஜிப்ராவோ, சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் முறையோ
பயின்றிராத எவர் ஒருவரும் தர்க்க அறிவின் துணை கொண்டு
இக்கணக்கைச் செய்ய இயலும் அல்லவா!
சகுந்தலா தேவி குறிப்பிடும் எண் குறைந்த பட்சமாக இரண்டு
இலக்க எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எனவே 10 முதல் 99
வரையிலான எண்களைக் கருத வேண்டும். இவற்றில் 10, 11, 12
ஆகிய எண்கள் பொருந்தவில்லை. இவற்றின் இலக்கங்களின்
கூட்டுத்தொகையின் 3 மடங்கு இரண்டு இலக்கத்தில் இல்லை.
எனவே 13ல் இருந்து தொடங்குவோம்.
13...இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 4,
அதன் 3 மடங்கு, 4x3 =12.
(எண்ணை விட 1 குறைகிறது).
14....இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 5,
5x 3= 15. (எண்ணை விட 1 கூடுகிறது).
15.... இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை = 6,
6x3 =18. (எண்ணை விட 3 கூடுகிறது).
இப்படியான பரிசீலனையில், 10 முதல் 19 வரையிலான
எண்களில் தீர்வு இல்லை என்று தெரிகிறது.
அடுத்து 20 முதல் 29 வரை பார்க்க வேண்டும்.
இதில் 27 விடையாக அமைந்து விடுகிறது.
(2+7 = 9. 9 x 3 = 27).
அடுத்து வேறு எந்த எண்ணும் விடையாக அமைகிறதா
என்று பார்க்க வேண்டும். மூன்று இலக்க எண்ணைக் கருதுவோம்.
அதிகபட்சமான மூன்று இலக்க எண்ணான 999 என்ற எண்ணை
எடுத்துக் கொண்டால், இதன் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 27
ஆகும். இதன் 3 மடங்கு = 27x 3 = 81தான். அதிகபட்ச எண்ணுக்கே
இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் 3 மடங்கு மூன்று இலக்க
எண்ணாக அமைவதில்லை.எனவே மூன்று இலக்க எண் விடையாக அமையாது என்பது புலப்படுகிறது. ஆக, 27 மட்டுமே ஒரே விடை
(Unique Solution) என்று நம்மால் நிரூபிக்க முடிந்துள்ளது.
சகுந்தலா தேவியின் கணக்குகள் இருபதாம் நூற்றாண்டைச்
சேர்ந்தவை. கை தொடும் தொலைவில் இருப்பவை. ரயில்
நிலையப் புத்தகக் கடைகளிலும் நூலகங்களிலும் எளிதில்
கிடைப்பவை. இணையதளங்களிலோ இலவசமாகக் கிடைக்கின்றன.
ஆனால் காகிதம், அச்சு இயந்திரம், கணினி, இணையம் என்னும் நவீன வசதிகள் எதுவும் தோன்றியே இராத ஒரு காலத்தில், 900 ஆண்டுகளுக்கு
முன்பே, இந்தியாவில் தனிச்சிறப்பு மிக்க கணிதப் புதிர்கள்
இருந்தன. அவை 12ஆம் நூற்றாண்டின் கணித மேதை பாஸ்கராச்சாரியார் என்னும் இரண்டாம் பாஸ்கரர் (Bhaskara II 1114-1185) எழுதிய லீலாவதி
என்னும் நூலில் உள்ளன. இவருக்கு ஐந்து நூற்றாண்டுகள் முந்திய
முதலாம் பாஸ்கரர் (Bhaskara I CE 600-680) இவரின் தந்தை அல்லர்.
அவர் பொச 7ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்த்தவர்.
இன்றைய மத்தியப் பிரதேச மாநிலத்தில் உள்ள உஜ்ஜயினி என்னும்
நகரில் வாழ்ந்த பாஸ்கரர் தமது 36ஆம் வயதில், பொச 1150ல்
சித்தாந்த சிரோமணி என்னும் நூலை சமஸ்கிருதத்தில் எழுதினார்.
அது நான்கு பகுதிகளைக் கொண்டது. அந்நான்கின் முதல் பகுதியே
லீலாவதி என்னும் தனி நூலாக அமைந்துள்ளது. லீலாவதியில் 278
செய்யுட்கள் உள்ளன. நூல் முழுவதும் கணிதப் புதிர்களால் ஆனது.
தமது மகள் லீலாவதியின் பெயரையே இந்நூலுக்குச் சூட்டி இருக்கிறார்
பாஸ்கரர். பிரதானமாக எண்கணிதப் புதிர்களைக் கொண்ட (Arithmetic)
இந்நூலில், செய்யுட்களைத் தொடர்ந்து உரைநடையில் விளக்கவுரை
அளித்துள்ளார் பாஸ்கரர்.
லீலாவதி என்ற சமஸ்கிருதச் சொல்லை எழிலார்ந்த திருவிளையாடல்
என்று தமிழில் கூறலாம். இந்நூலில் கணிதத்தில் வரும் "பை"யின்
மதிப்பாக 3927/1250 என்ற மிக நெருக்கமான ஒரு தோராயத்தைக்
கூறியுள்ளார் பாஸ்கரர் இனி உலகப்புகழ் பெற்ற லீலாவதி நூலுக்குள் இறங்கி அதிலுள்ள ஒன்றிரண்டு கணக்குகளைப் பார்க்கலாம். முதலில் நெக்லஸ் கணக்கு.
ஒரு நெக்லஸ் அறுந்து விட்டது. அதில் இருந்த முத்துக்கள் சிதறி
விட்டன. ஆறில் ஒரு பங்கு முத்துக்கள் தரையிலும், ஐந்தில் ஒரு
பங்கு முத்துக்கள் படுக்கையிலும் கிடந்தன. மூன்றில் ஒரு பங்கு
முத்துக்களை அந்தப் பெண்ணும், பத்தில் ஒரு பங்கு முத்துக்களை அப்பெண்ணின் கணவனும் பிடித்துக் கொண்டனர்.
நெக்லசோடு ஆறு முத்துக்கள் ஒட்டிக் கொண்டிருந்தன.
எனில் நெக்லசில் இருந்த மொத்த முத்துக்கள் எத்தனை?
முத்துக்கள் தரையில் + படுக்கையில் + பெண்ணிடம் +கணவனிடம் =
1/6 + 1/5 + 1/3 + 1/10 பாகம் = (5+6+10+3)/30 = 24/30 பாகம்.
மீதி = 6/30 பாகம். இது நெக்லசுடன் ஒட்டியிருந்த முத்துக்கள்
6க்குச் சமம். எனவே நெக்லசில் இருந்த முத்துக்கள் 30 ஆகும்.
இப்போது புதிர் முடிவுக்கு வந்து விட்டது.
கணக்கதிகாரம் என்னும் தமிழ் நூலில் லீலாவதியில் உள்ள மேற்கூறிய நெக்லஸ் கணக்கு சிற்சில மாற்றங்களுடன் உள்ளது. முத்தணி என்று
நெக்லஸ் குறிக்கப் பட்டுள்ளது.
அன்றைய சோழ நாட்டில் உள்ள கொறுக்கையூர் என்னும் ஊரில் வாழ்ந்த
காரி நாயனார் என்னும் புலவர் கணக்கதிகாரம் என்னும் இந்நூலை
15ஆம் நூற்றாண்டில் இயற்றினார். இந்நூல் அக்காலத்தில் வழக்கில்
இருந்த சம்ஸ்கிருத நூலின் மொழிபெயர்ப்பே என்று காரி நாயனார்
கணக்கதிகாரம் நூலின் பாயிரத்தில் கூறுகிறார்.
கூரிய கணிதநூலைக் குவலயந் தன்னில் யானும்
சூரியன் தனக்குநேரே தோன்றும் மின்மினிப் புழுப்போல்
சீரிய தமிழால் சொல்வேன் சிறந்தவர் இகழாரம்மா.
(சந்தி பிரித்து எழுதப்பட்டுள்ளது)
தமது நூல் சம்ஸ்கிருத நூலின் மொழிபெயர்ப்பே என்று
தயக்கமின்றி மீண்டும் சொல்லுகிறார் காரி நாயனார் நூலின்
பாயிரத்தின் அடுத்த செய்யுளில்.
பன்னு வடசொல் பனுவல்தனை இப்பொழுதுகன்னித் தமிழ் வாயால் கட்டுரைத்தேன் - முன்னம்
மகிழ்கின்ற எண்ணின் வழிவந்த கணக்கெல்லாம்
இகழ்வின்றியே உரைப்பேன் யான்.
(சந்தி பிரித்து எழுதப்பட்டுள்ளது). எனவே லீலாவதியின்
மொழிபெயர்ப்பு மற்றும் தழுவலே கணக்கதிகாரம் என்பது
பெறப்படுகிறது.
லீலாவதியில் இருந்து இன்னொரு கணக்கைப் பார்ப்போம்
பாஸ்கரரின் நினைவைப் போற்றும் விதத்தில், இந்தக் கணக்கை
கணித மேதை சகுந்தலா தேவி தம்முடைய Puzzles to puzzle you
என்ற நூலில்குறிப்பிட்டுள்ளார். இந்தக் கணக்கின் வயது தோராயமாக
1000. என்றாலும், இக்கணக்கு இன்றும் இளமையுடன் திகழ்கிறது.
அதைப் பார்ப்போம்
ஒளிரும் விழிகள் கொண்ட ஓர் அழகி என்னிடம்
கேட்டாள்:ஓர் எண்ணை 3ஆல் பெருக்கி, வரும் பெருக்கற்பலனின்
முக்கால் பாகத்தை அத்துடன் கூட்டி, 7ஆல் வகுத்து,
வகுத்து வரும் ஈவின் மூன்றில் ஒரு பாகத்தை
அதிலிருந்து கழித்து வருவதை அதனாலேயே பெருக்கி,
52ஐக் கழித்து, வர்க்கமூலம் கண்டு, 8ஐக் கூட்டி,
10ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது 2 என்றால், அந்த எண் என்ன?
A beautiful maiden with beaming eyes asks me which is the number
that, multiplied by 3, then increased by three-fourths of the product,
divided by 7, diminished by one-third of the quotient, multiplied by
itself, diminished by 52, the square root found, addition of 8,
division by 10 gives the number 2?).
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக