யுகத்தின் மீது சுவடு பதித்த ராமானுஜன்!
--------------------------------------------------------------
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------
உலகின் தலைசிறந்த கணிதமேதைகளில் ஐந்தாவது
இடத்தில் வைத்துப் போற்றப் படுகிறார் சீனிவாச ராமானுஜன்.
முதல் மூன்று இடங்களில் ஆர்க்கிமிடிஸ், நியூட்டன், காரல்
பிரடெரிக் காஸ் ஆகியோர் உள்ளனர். நான்காம் இடத்தில்
சுவிஸ் நாட்டுக் கணித மேதை லியனார்டு ஆய்லரும் (1707-1783)
ஐந்தாம் இடத்தில் ராமானுஜனும் (1887-1920) உள்ளனர்.
லியனார்டு ஆய்லரைப் போன்று 75ஆண்டுகள் ராமானுஜன்
இவ்வுலகில் வாழ்ந்திருப்பாரேயானால், ஆய்லரை விஞ்சும்
சாதனைகளைப் புரிந்து அவரின் நான்காம் இடத்தைத்
தான் பெற்றிருப்பார். (இவ்வாக்கியம் பெரும் மேதையான
ஆய்லரின் மீதான மதிப்பும் மரியாதையும் அணுவளவும்
குன்றாமல் எழுதப் படுகிறது). ஆனால் 33 ஆண்டுகள் மட்டுமே
ராமானுஜன் வாழ்ந்தமையால், அவர் வாயிலாகத் தான்
அடைந்திருக்கக்கூடிய பெரும் மேன்மைகளை கணித உலகம்
இழந்தது.
ராமானுஜன் லண்டனில் உள்ள கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலையின்
டிரினிட்டி கல்லூரியில் 1914ல் தமது 26ஆவது வயதில் சேர்ந்தார். கெடுவாய்ப்பாக அதே ஆண்டில் முதலாம் உலகப்போர் தொடங்கியது.
போரின் கெடுபிடிகளும் நெருக்கடியும் நாடுகளுக்கு
இடையிலான வர்த்தகப் பரிமாற்றத்தில் பெரும்
சேதாரத்தை ஏற்படுத்தி இருந்தன. இதன் விளைவாக
காய்கறிகள், பழங்கள் முதலிய அத்தியாவசியப் பொருட்கள்
கிடைப்பது கடினமானது.
சைவ உணவுப் பழக்கத்தைக் கொண்டிருந்த ராமானுஜனுக்கு இது சங்கடத்தைக் கொடுத்தது. மேலும் சைவ உணவுக் கடைகளும் மிகக்குறைவாகவே இருந்தன. போர் காரணமாக உணவின் விலையும்
அதீதமாக இருந்தது. இதனால் தாமே சொந்தமாகச் சமையல்
செய்து சாப்பிடும் நிலைக்கு ராமானுஜன் தள்ளப் பட்டார்.
ஆனால் இந்தியாவில் இருந்து புளியோ அல்லது எலுமிச்சம்
பழமோ வந்து சேராத நிலைமையில் சொந்த சமையல் என்பது
ராமானுஜனுக்கு கைகூடவில்லை. லண்டனில் கிடைத்த
எலுமிச்சம் பழமானது இனிப்புச் சுவையோடு சாத்துக்குடிப் பழம்
போன்று இருந்தமையால் அவரால் அதைக் கொண்டு ரசம் வைக்க இயலவில்லை.
சரியான உணவின்றி கஷ்டப் பட்டது போன்றே லண்டனின்
கடுங்குளிராலும் ராமானுஜன் துயருற்றார். குளிர்காலத்தில்
லண்டனில் சராசரியாக 5 டிகிரி செல்சியஸ் வெப்பநிலை
இருக்கும். அடிக்கடி பனிப்பொழிவும் மழையும் இருக்கும்.
மழைக்காலம் லண்டனில் அன்றாட வாழ்க்கையை நரகம்
ஆக்கிவிடும். இதனால்தான் வெள்ளைக்காரக் குழந்தைகள்
Rain rain go away என்று பாடுகின்றன. வான்சிறப்பை ஏத்துகின்ற
மாமழையைப் போற்றுகின்ற தமிழ் மரபுக்கு, மழையை விரட்டி
அடிக்கும் ஆங்கில மரபு ஒத்து வருவதல்ல. ஆக, டிரினிட்டி
கல்லூரியில் ராமானுஜன் செய்த கணிதச் சாதனைகள் யாவும்
பெருந் துன்ப துயரங்களுக்கு இடையில் செய்தனவாகும்.
இந்தியப் புள்ளியியலின் தந்தை என்று போற்றப்படுபவர்
டாக்டர் மகல் நோபிஸ் (Dr P C Mahalanobis 1893-1972). வங்காளியான
இவர் ராமானுஜனின் சமகாலத்தவர்; ராமானுஜன் படித்த அதே
காலக் கட்டத்தில் கேம்பிரிட்ஜில் கிங்ஸ் கல்லூரியில் (King's college)
படித்தவர். இவர் அடிக்கடி வந்து ராமானுஜனைச் சந்தித்து
உரையாடிவிட்டுச் செல்வார். ஒருமுறை இவரின் பேராசிரியர் ஒருவர்
ராமானுஜனின் சிறப்புகளைப் பற்றிப் பேசுவதை இவர் கேட்டு விட்டு
அதை எழுத்தில் பதிவு செய்து ஆவணப் படுத்தியுள்ளார்.
பின்னாளில் இதே கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலையில், 1957ல் புனித ஜான்
கல்லூரியில் படித்தார் இந்தியப் பிரதமராக இருந்த டாக்டர்
மன்மோகன்சிங். தான் படித்த கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலையின்
முந்திய தலைமுறை மாணவரான ராமானுஜனை கெளரவிக்கும்
விதத்தில், ராமானுஜனின் பிறந்தநாளை (டிசம்பர் 22)
இந்தியாவின் தேசியக் கணித நாளாக அறிவித்தார்
2012ல் சென்னைப் பல்கலையில் நடைபெற்ற ஒரு விழாவில்
வரலாற்றுச் சிறப்புமிக்க இந்த அறிவிப்பைச் செய்தார் .
மன்மோகன்சிங். கற்றாரைக் கற்றாரே காமுறுவர் என்பது
போல், கேம்பிரிட்ஜில் படித்த மன்மோகன்சிங், கேம்பிரிட்ஜில்
படித்த ராமானுஜனை கெளரவித்ததில் வியப்புக்கு இடமில்லை.
கம்பருக்கு சடையப்ப வள்ளல் போல ராமானுஜனுக்கு
ஹார்டி அமைந்தார். இங்கிலாந்தின் கணித மேதை
பேராசிரியர் ஹார்டி (G H Hardy 1877-1947). மேலும் டிரினிட்டி
கல்லூரியில் ராமானுஜனுக்கு கணிதம் கற்பித்த
பேராசிரியர் இவரே. ராமானுஜனை அடையாளம் கண்டு,
அவருள்ளிருந்த கணித மேதைமையை வெளிக்கொணர்ந்து.
ராமானுஜனுக்கு நண்பனாய் நல்லாசிரியானாய் ஞானத்
தந்தையாய், எல்லாமுமாய் இருந்தவர் பேராசிரியர் ஹார்டி.
ராமானுஜனின் மறைவுக்குப் பின்னரும் 27 ஆண்டுகள்
வாழ்ந்தார் ஹார்டி. அவரின் முதிர்ந்த வயதில், ஒரு நேர்காணலில்,
அவரின் மகத்தான சாதனை என்ன என்ற கேள்விக்கு
ராமானுஜனைக் கண்டுபிடித்தததுதான் (discovery of Ramanujan)
என்று தயக்கமின்றி விடையளித்தார். மேலும் ராமாநுஜனுடன்
அவர் இணைந்து செயல்பட்டதே அவரின் வாழ்வின் வசீகரமான
நிகழ்வு (romantic incident in my life) என்றும் அவர் கூறினார்.
ராமானுஜனின் காலத்தில் கேம்பிரிட்ஜில் ஹார்டி,
லிட்டில் வுட் (J E Littlewood 1885-1977) ஆகிய கணித அறிஞர்கள்
வாழ்ந்தனர். லியனார்டு ஆய்லருடனும் ஜெர்மனியின்
கணித மேதை ஜாக்கோபியுடனும் (Carl Jacobi 1804-1851)
ராமானுஜனை அடிக்கடி ஒப்பிடுவார் ஹார்டி.
எண்ணியல் கோட்பாட்டில் (Number Theory) சிறப்புக்குரிய
பங்களிப்புகளை செய்தவர் ஜாக்கோபி. மேலும் அவர்
நீள்வட்டச் சார்பலன்கள் (Elliptic functions) என்னும் கணித ஆக்கத்தை
உருவாக்கினார். இதை அவர் நார்வே நாட்டுக் கணித அறிஞரும்
27 வயதிலேயே இறந்து போனவருமான நியல்ஸ் ஹென்ரிக் ஏபெல்
(Niels Henrick Abel 1802-1829) என்பவருடன் இணைந்து உருவாக்கினார். கணிதத்திற்காக வழங்கப்படும்
ஏபெல் பரிசு (Abel prize) நியல்ஸ் ஹென்ரிக் ஏபேலின் பெயரில்
அவர் நினைவாக வழங்கப் படுகிறது என்பது நாம் அறிந்ததே.
ராமானுஜன் ஹார்டி காலத்தில் உலக அளவில் பல கணிதப்
புதிர்கள் தீர்க்கப் படாமல் இருந்தன. அவற்றுள் முக்கியமான
சிலவற்றைக் காண்போம். பிரெஞ்சுக் கணித அறிஞர்
பெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றம் (Pierry de Fermat 1607-1665),
ஜெர்மானியக் கணித மேதை பெர்னார்டு ரீமன் முன்மொழிந்த
(Bernhard Riemann 1826-1866) ரீமன் கருதுகோள் ஆகியவை
தீர்வுகளைக் கோரி நின்றன. மேலும் "பை"யின் மதிப்பு
இன்னும் அதிகமான இலக்கங்களுக்கு துல்லியமாகக்
கணக்கிடப்பட வேண்டி இருந்தது.
பெர்மட் 1637ல் ஒரு தேற்றத்தைக் கூறினார். அதை
நிரூபிக்குமாறு அறைகூவல் விடுத்தார்.
a^n + b^n = c^n என்ற சமன்பாட்டைக் கொடுத்த பெர்மட்,
இதற்கு முழுஎண் தீர்வுகள் கிடையாது என்று கூறினார்.
No three positive integers a, b, c satisfy the equation a^n + b^n = c^n
for any integer value of n greater than 2. இதுதான் பெர்மட்டின்
கடைசித் தேற்றம்.
இங்கு n = 2 என்ற மதிப்பை இட்டால் இது பித்தகோரஸ்
தேற்றம் ஆகிவிடும். அதற்கு கணக்கற்ற தீர்வுகள்
உள்ளன. எனவேதான் n > 2 என்று கூறியுள்ளார் பெர்மட்.
அண்மையில்தான் பெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றம்
ஆக்ஸ்போர்டு பேராசிரியர் ஆண்ட்ரூ வைல்ஸ் (Andrew Wiles)
என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டு 2016ஆம் ஆண்டுக்கான
ஏபெல் பரிசு அவருக்கு வழங்கப் பட்டுள்ளது.
நீள்வட்ட வளைவுகள் (elliptic curves) என்னும் கணிதக்
கருத்தாக்கம் மூலமாகவே பெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றத்தை
வைல்ஸ் நிரூபித்துள்ளார். இதற்கெல்லாம் வித்திட்டவர்
நீள்வட்டச் சார்பலன்கள் (elliptic functions) என்பதில்
கணிசமாகப் பங்களித்த ராமானுஜனே.
உண்மையில் பெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றத்தை நிரூபிப்பதில்
ராமானுஜன் நூலிழையில் தவறி விட்டார் என்று கருத இடமுண்டு
என்று தற்காலக் கணித அறிஞர்கள் மதிப்பிடுகின்றனர்.
அகால மரணம் அடையாமல் 60 வயது வரை ராமானுஜன்
வாழ்ந்திருப்பார் எனில், ஆண்ட்ரூ வைல்சுக்கு
முன்னதாகவே பெர்மட்டின் கடைசித் தேற்றத்தை
அவர் நிரூபித்து இருப்பார்.
கணிதத்தில் பை என்னும் மாறிலி (constant) ஒரு விகிதமுறா
எண்ணாகும். இதன் மதிப்பு முடிவுறாமல் உள்ளது. 22/7 என்பது
"பை"யின் துல்லியமான மதிப்பு அல்ல; தோராயமான
மதிப்பே ஆகும். இதை விட நெருக்கமான தோராயம்
355/113 ஆகும். தற்போது, அதாவது இந்த 2021ல், "பை"யின்
மதிப்பு 31 டிரில்லியன் இலக்கங்களுக்கு கண்டறியப்
பட்டுள்ளது. (1 டிரில்லியன் = 1 லட்சம் கோடி).
இந்த அசுர சாதனைக்கு மூல காரணமாகத் திகழ்ந்தவர்
ராமானுஜன். இன்றைக்கும் ராமானுஜன் 1914ல் கண்டறிந்த
சூத்திரம் மூலமாகவே "பை"யின் மதிப்பு கண்டறியப் படுகிறது.
ராமானுஜனின் சூத்திரப்படி, ஒரு புள்ளியில் விரைவாகக்
குவியும் (converging) எண்கலில் இருந்து "பை"யின்
மதிப்பு கிடைக்கிறது.
1987ல் சட்னோவ்ஸ்கி சகோதரர்கள் (Chudnovsky brothers)
ராமானுஜன் சூத்திரம் போன்ற ஒரு சூத்திரத்தைக்
கண்டுபிடித்தனர். இது ராமானுஜனின் சூத்திரத்தை விட
மிகவும் விரைவாக ஒரு புள்ளியில் குவியும் எண்களைக்
கொண்டது (converging more rapidly).
இயல் எண்களைக் கொண்ட கீழ்க்கண்ட ஒரு முடிவுறாத்
தொடரைக் கருதுவோம்.
1+2+3+......
இத்தொடரின் மதிப்பு என்ன?
1+2+3+............. = infinity என்று நாம் அறிவோம்.
ஆனால் ராமானுஜன் இதை மறுத்தார்.
மறுத்து அவர் ஒரு சமன்பாட்டை முன்வைத்தார்.
அதன்படி,
1+2+3+.......... = minus 1 /12.
மேற்கண்ட ராமானுஜனின் சமன்பாட்டைப் படிக்கும் யார் எவரும்
பேரதிர்ச்சி அடைவார்கள். இந்தச் சமன்பாடு பைத்தியக்
காரத்தனமானது என்றே கூறுவார்கள்.
ஆனால், இன்றல்ல, 1913ஆம் ஆண்டிலேயே ராமானுஜன்
ஹார்டிக்கு எழுதிய ஒரு கடிதத்தில் அதிர்ச்சிகரமான
இந்த சமன்பாட்டைக் குறிப்பிட்டு அதை நிரூபித்தும்
இருந்தார்.
நவீன இயற்பியலின் கொள்கைகளில் ஒன்று இழைக்கொள்கை
(string theory) ஆகும். பொருட்கள் அணுக்களால் ஆனவை,
துகள்களால் ஆனவை என்று நாம் அறிவோம். பொருட்கள்
இழைகளால் (strings) ஆனவை என்று கூறுகிறது இழைக்கொள்கை.
ராமானுஜனின் மேற்கூறிய சமன்பாடு,
1+2+3+................. = minus 1/12 இழைக்கொள்கையில்
எடுத்தாளப் படுகிறது. இழைக்கொள்கை மிகவும்
அண்மைக்காலக் கண்டுபிடிப்பு. ராமானுஜனின் மேற்கூறிய
சமன்பாடு 1913ல் வெளியாகியது. சார்பியல் கொள்கை,
குவான்டம் கொள்கை, இழைக்கொள்கை என்று நவீன
இயற்பியல் குதிரைப் பாய்ச்சலில் சென்றாலும்,
1913ல் ராமானுஜன் முன்மொழிந்த சமன்பாடு
இன்றைக்கும் பொருந்துகிறது; இழைக்கொள்கையில்
பயன்படுகிறது.
வரம்பிலியை (infinity) கணித வல்லுநர்கள் வரவேற்கலாம்.
ஆனால் இயற்பியலில் வரம்பிலிக்கு வரவேற்பு கிடையாது.
இயற்பியலாளர்கள் வரம்பிலியால் எப்போதுமே சங்கடப்
படுபவர்கள். ஒரு சமன்பாட்டில் வரம்பிலி வந்து தொலைத்தால்
அதை நீக்கும் வரை இயற்பியல் மேற்கொண்டு நகராது.
வரம்பிலியால் இடையூறு என்பதன் பொருள் (physical meaning)
என்ன? உங்களுக்கு முன் ஒரு பாதை நீண்டு கிடக்கிறது.
அதில் நீங்கள் செல்கிறீர்கள். திடீரென்று அந்தப் பாதையில்
ஒரு பெரிய பாறை கிடந்தது வழியை அடைத்துக் கொண்டு
இருக்கிறது என்று கருதுங்கள். அவ்வாறு வழியை அடைக்கும்
அந்தப் பாறையே வரம்பிலி ஆகும். அந்தப் பாறையை
அகற்றாமல் மேற்கொண்டு செல்ல முடியாது என்பதைப்
போல, வரம்பிலியை நீக்காமல் இயற்பியல் மேற்கொண்டு
நகராது. வரம்பிலியை நீக்குவதற்கென்றே குவான்டம்
புலக் கொள்கையில் (Quantum Field Theory) இயல்பாக்க உத்திகள்
(Renormalisation techniques) கையாளப் படுகின்றன.
இந்த இடத்தில் ராமானுஜன் இயற்பியலுக்கு மிகவும்
தேவைப் படுகிறார். 1+2+3+..... = ? என்னும் ஒரு முடிவுறாத் தொடர்
அவரிடம் இருந்தது. அதற்கு விடை வரம்பிலிதான் என்று
நினைத்து இயற்பியலாளர்கள் சோர்வடைந்தபோது,
இல்லை, இதன் விடை minus 1/12 என்று கூறி வரம்புக்கு உட்பட்ட
விடையைக் (finite solutions) கூறுகிறார் ராமானுஜன். இவ்வாறு
வரம்பிலியை இல்லாமல் ஆக்கி விடுகிறார்.
1913ல் ராமானுஜன் மேற்கூறிய முடிவுறாத் தொடரின் விடையாக
முடிவுறும் எண் மதிப்பைத் தந்தார். இன்று 2021ல் ராமானுஜன்
விடையளித்து நூறு ஆண்டுகளுக்கு மேலும் ஓடிவிட்டன.
என்றாலும் ராமானுஜனின் சமன்பாடு மங்கி விடவில்லை.
(1+2+3+.... = minus 1/12). அது காலத்தை வென்று நிற்கிறது.
ராமானுஜன் மறையவில்லை; வாழ்கிறார்.
அவர் என்றும் வாழ்வார். கணிதம் உள்ள அளவும் இயற்பியல்
உள்ள அளவும் வரம்பிலி உள்ள அளவும் ராமானுஜன் வாழ்வார்.
யுக யுகாந்திரங்களைக் கடந்து, கால தேச வர்த்தமானங்களைக்
கடந்து இந்தப் பிரபஞ்சம் உள்ள அளவும் ராமானுஜன் வாழ்வார்!
*******************************************************
.
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக