புத்தகச் சந்தை பற்றிய கேள்வி!
வேலைக்கு ஆள் எடுக்கும் ஒரு நிறுவனம்
நேர்காணலில் கேட்ட கேள்வி!
வேலை தேடும் இளைஞர்களே
இது போன்ற கணக்குகளைச் செய்து பழகுங்கள்!
------------------------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
----------------------------------------------------------------------------------
ஒருவர் 100 புத்தகங்களை மூன்று கடைகளில்
வாங்குகிறார். முதல் கடையில் எதை எடுத்தாலும்
ரூ 5 விலை. இரண்டாம் கடையில் எதை எடுத்தாலும்
ரூ 1 விலை. மூன்றாம் கடையில் ஒரு ரூபாய்க்கு
20 புத்தகங்கள். மூன்று கடைகளிலும் வாங்கிய
100 புத்தகங்களுக்கு உரிய விலையாக ரூ 100
செலுத்தியுள்ளார்.
இப்போது கேள்வி இதுதான். ஒவ்வொரு கடையிலும்
அவர் வாங்கிய புத்தகங்கள் எத்தனை?
வாசகர்களிடம் இருந்து விடைகள் வரவேற்கப்
படுகின்றன.
புத்தகச் சந்தைக்குப் போய் புத்தகம் வாங்கியவர்கள்
கண்டிப்பாக விடையளிக்க வேண்டும்.
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றத்தின் விடை
பின்னர் வழங்கப்படும்.
**************************************************
இந்தக் கணக்கிற்கு ஒரே ஒரு விடைதான் உண்டா?
இந்தக் கேள்விக்கும் கணிதம் பயின்ற வாசகர்கள்
விடையளிக்க வேண்டும்.
இந்தக் கணக்கு 10ஆம் வகுப்பு அல்ஜீப்ராவில்
"ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் மூன்று ராசிகள்"
(simultaneous equations in three variables) என்ற பாடத்தில்
வருவது. எனவே வாசகர்கள் முயன்று விடைக்குமாறு
வேண்டுகிறோம்.
கணக்கின் விடைக்கான தர்க்கம் !
====================================
5 பைசாக் கடையில் 1 புத்தகத்தின் விலை 5 பைசா.
இங்கு வாங்கும் புத்தகங்கள் 20ன் மடங்குகளாகவே
இருக்க வேண்டும், அதாவது 20,40,60,80 ஆகிய நான்கு
வாய்ப்புகள் மட்டுமே இந்தக் கடையில் புத்தகம்
வாங்கும்போது நமக்கு உள்ளன.
அதாவது 16 புத்தகம், 32 புத்தகம், 48 புத்தகம்
என்றெல்லாம் வாங்க முடியாது. 100 புத்தகம்
என்றும் வாங்க முடியாது.
கணக்கின் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி அடைய
வேண்டுமெனில் 5 பைசாக் கடையில் வாங்கும்
புத்தகங்களின் எண்ணிக்கை 4 வாய்ப்புகளை
மட்டுமே (20, 40,70, 80) கொண்டிருக்கிறது.
அடுத்து, 5 ரூபாய்க் கடையில் 19 வாய்ப்புகள்
உள்ளன.1 முதல் 19 புத்தகம் வரை வாங்கலாம்.
இந்த 19 வாய்ப்புகளையும் 5 பைசாக் கடையின்
4 வாய்ப்புகளோடு பொருத்த வேண்டும் (mapping).
முதலில் 20ஐ எடுத்துக் கொண்டு, 1 முதல் 19 வரை
பொருத்திப் பார்ப்போம்.
1,20,21,6 என்று வருகிறது. கடைசி இரண்டும் முறையே
ரூபாய், புத்தக எண்ணிக்கை ஆகும்.
1,20, 21,6
2,20, 22,11
3,20, 23,16
4,20, 24, 21
5,20, 25, 26
மூன்றாவது columnம் 4ஆவது columnம் ஒரு AP என்பதை
(Arithmetic Progression) என்பதை உணரலாம்.
இதை 19 வரை நீட்டினால்,
19,20, 39, 96 என்று முடியும்.
புத்தக எண்ணிக்கை என்பது 100ஐ தொடவில்லை.
25ல் நின்று விடுகிறது. தொகையும் 100 ஐ தொடவில்லை.
96ல் நின்று விடுகிறது. எனவே 5 பைசாக் கடையில்
20 புத்தகங்களை வாங்கினால் கணக்கின்
நிபந்தனைகள் பூர்த்தியாகவில்லை. ஆக 20 ஐ விலக்கி
விடுகிறோம். இது ஒரு elimination.
அடுத்து 40ஐ எடுத்து 1 முதல் 19 வரை பொருத்திப்
பார்க்கலாம்.
1, 40, 41, 7
2, 40, 42, 12
3, 40, 43, 17
4, 40, 44, 22
.., .., ....., ....
19, 40, 59, 97
இந்தப் பொருத்தத்திலும் (matching) புத்தக எண்ணிக்கை
59ல் நின்று விடுகிறது. தொகையும் 97ல் நின்று
விடுகிறது. எதுவுமே 100ஐ தொடவில்லை. எனவே
5 பைசாக் கடையில் 40 புத்தகங்கள் வாங்கினால்
கணக்கின் நிபந்தனை பூர்த்தி அடையவில்லை.
எனவே 40ஐயும் நீக்கி விடுகிறோம். (elimination).
மீதி இருப்பது 60ம் 80ம்தான். அவற்றை இப்போது
பார்ப்போம்.
(தொடர்ச்சி: அடுத்த கமென்ட்டில்)
--------------------------------------
இப்போது 60ஐ எடுத்து 1 முதல் 19 வரை பொருத்திப்
பார்ப்போம்.
1, 60, 61, 8
2, 60, 62, 13
3, 60, 63, 18
4, 60, 64, 23
5, 60, 65, 28
..., ..., ..., ...
19, 60, 79, 98
இந்தப் பொருத்தத்திலும் (matching) புத்தக எண்ணிக்கை
79ல் நின்று விடுகிறது. தொகையும் 98ல் நின்று
விடுகிறது. எதுவுமே 100ஐ )அல்லது 99 ஐ) தொடவில்லை.
எனவே 5 பைசாக் கடையில் 60 புத்தகங்கள் வாங்கினால்
கணக்கின் நிபந்தனை பூர்த்தி அடையவில்லை.
எனவே 60ஐயும் நீக்கி விடுகிறோம். (elimination).
இனி மீதி இருப்பது 80 மட்டுமே. இந்த 80 ஐ
எடுத்து 1 முதல் 19 வரை பொருத்திப் பார்ப்போம்.
1. 80. 81. 9
2, 80, 82,14
3, 80, 83, 19
4, 80, 84, 24
5, 80, 85, 29
..., ..., ..., ...
18, 80, 98, 94
19, 80, 99, 99.
கடைசியில் 19, 80, 99, 99 கிடைத்துள்ளது.
கடைசி இரண்டு columnம் பொருந்துகிறது.
இரண்டும் 99. அதாவது புத்தக எண்ணிக்கையும்
99. தொகையும் 99.
இப்போது மீதியுள்ள 1 ரூபாய்க் கடையில் ஒரே
ஒரு புத்தகம் ஒரு ரூபாய்க்கு வாங்கினால்,
புத்தக எண்ணிக்கையும் 100 வந்து விடுகிறது.
தொகையும் 100 வந்து விடுகிறது. ஆக கணக்கின்
விடை கிடைத்து விட்டது.
விடை: 5 ரூபாய்க் கடையில் 19 புத்தகம்,
1 ரூபாய்க் கடையில் 1 புத்தகம், 5 பைசாக்
கடையில் 80 புத்தகம். ஆக மொத்தம் 100 புத்தகம்.
மொத்தத் தொகை = ரூ 100
ஆக, இந்தக் கணக்கிற்கு ஒரே ஒரு விடைதான்
என்பதை மேலே நிரூபித்துள்ளேன்.
ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விடை சாத்தியமில்லை
என்பதை நிரூபித்துள்ளேன்.
This sum has an UNIQUE SOLUTION. QED.
_----------------------------------------------------------------------
வேலைக்கு ஆள் எடுக்கும் ஒரு நிறுவனம்
நேர்காணலில் கேட்ட கேள்வி!
வேலை தேடும் இளைஞர்களே
இது போன்ற கணக்குகளைச் செய்து பழகுங்கள்!
------------------------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
----------------------------------------------------------------------------------
ஒருவர் 100 புத்தகங்களை மூன்று கடைகளில்
வாங்குகிறார். முதல் கடையில் எதை எடுத்தாலும்
ரூ 5 விலை. இரண்டாம் கடையில் எதை எடுத்தாலும்
ரூ 1 விலை. மூன்றாம் கடையில் ஒரு ரூபாய்க்கு
20 புத்தகங்கள். மூன்று கடைகளிலும் வாங்கிய
100 புத்தகங்களுக்கு உரிய விலையாக ரூ 100
செலுத்தியுள்ளார்.
இப்போது கேள்வி இதுதான். ஒவ்வொரு கடையிலும்
அவர் வாங்கிய புத்தகங்கள் எத்தனை?
வாசகர்களிடம் இருந்து விடைகள் வரவேற்கப்
படுகின்றன.
புத்தகச் சந்தைக்குப் போய் புத்தகம் வாங்கியவர்கள்
கண்டிப்பாக விடையளிக்க வேண்டும்.
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றத்தின் விடை
பின்னர் வழங்கப்படும்.
**************************************************
இந்தக் கணக்கிற்கு ஒரே ஒரு விடைதான் உண்டா?
இந்தக் கேள்விக்கும் கணிதம் பயின்ற வாசகர்கள்
விடையளிக்க வேண்டும்.
இந்தக் கணக்கு 10ஆம் வகுப்பு அல்ஜீப்ராவில்
"ஒருபடிச் சமன்பாடுகள் மூன்று ராசிகள்"
(simultaneous equations in three variables) என்ற பாடத்தில்
வருவது. எனவே வாசகர்கள் முயன்று விடைக்குமாறு
வேண்டுகிறோம்.
கணக்கின் விடைக்கான தர்க்கம் !
====================================
5 பைசாக் கடையில் 1 புத்தகத்தின் விலை 5 பைசா.
இங்கு வாங்கும் புத்தகங்கள் 20ன் மடங்குகளாகவே
இருக்க வேண்டும், அதாவது 20,40,60,80 ஆகிய நான்கு
வாய்ப்புகள் மட்டுமே இந்தக் கடையில் புத்தகம்
வாங்கும்போது நமக்கு உள்ளன.
அதாவது 16 புத்தகம், 32 புத்தகம், 48 புத்தகம்
என்றெல்லாம் வாங்க முடியாது. 100 புத்தகம்
என்றும் வாங்க முடியாது.
கணக்கின் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி அடைய
வேண்டுமெனில் 5 பைசாக் கடையில் வாங்கும்
புத்தகங்களின் எண்ணிக்கை 4 வாய்ப்புகளை
மட்டுமே (20, 40,70, 80) கொண்டிருக்கிறது.
அடுத்து, 5 ரூபாய்க் கடையில் 19 வாய்ப்புகள்
உள்ளன.1 முதல் 19 புத்தகம் வரை வாங்கலாம்.
இந்த 19 வாய்ப்புகளையும் 5 பைசாக் கடையின்
4 வாய்ப்புகளோடு பொருத்த வேண்டும் (mapping).
முதலில் 20ஐ எடுத்துக் கொண்டு, 1 முதல் 19 வரை
பொருத்திப் பார்ப்போம்.
1,20,21,6 என்று வருகிறது. கடைசி இரண்டும் முறையே
ரூபாய், புத்தக எண்ணிக்கை ஆகும்.
1,20, 21,6
2,20, 22,11
3,20, 23,16
4,20, 24, 21
5,20, 25, 26
மூன்றாவது columnம் 4ஆவது columnம் ஒரு AP என்பதை
(Arithmetic Progression) என்பதை உணரலாம்.
இதை 19 வரை நீட்டினால்,
19,20, 39, 96 என்று முடியும்.
புத்தக எண்ணிக்கை என்பது 100ஐ தொடவில்லை.
25ல் நின்று விடுகிறது. தொகையும் 100 ஐ தொடவில்லை.
96ல் நின்று விடுகிறது. எனவே 5 பைசாக் கடையில்
20 புத்தகங்களை வாங்கினால் கணக்கின்
நிபந்தனைகள் பூர்த்தியாகவில்லை. ஆக 20 ஐ விலக்கி
விடுகிறோம். இது ஒரு elimination.
அடுத்து 40ஐ எடுத்து 1 முதல் 19 வரை பொருத்திப்
பார்க்கலாம்.
1, 40, 41, 7
2, 40, 42, 12
3, 40, 43, 17
4, 40, 44, 22
.., .., ....., ....
19, 40, 59, 97
இந்தப் பொருத்தத்திலும் (matching) புத்தக எண்ணிக்கை
59ல் நின்று விடுகிறது. தொகையும் 97ல் நின்று
விடுகிறது. எதுவுமே 100ஐ தொடவில்லை. எனவே
5 பைசாக் கடையில் 40 புத்தகங்கள் வாங்கினால்
கணக்கின் நிபந்தனை பூர்த்தி அடையவில்லை.
எனவே 40ஐயும் நீக்கி விடுகிறோம். (elimination).
மீதி இருப்பது 60ம் 80ம்தான். அவற்றை இப்போது
பார்ப்போம்.
(தொடர்ச்சி: அடுத்த கமென்ட்டில்)
--------------------------------------
இப்போது 60ஐ எடுத்து 1 முதல் 19 வரை பொருத்திப்
பார்ப்போம்.
1, 60, 61, 8
2, 60, 62, 13
3, 60, 63, 18
4, 60, 64, 23
5, 60, 65, 28
..., ..., ..., ...
19, 60, 79, 98
இந்தப் பொருத்தத்திலும் (matching) புத்தக எண்ணிக்கை
79ல் நின்று விடுகிறது. தொகையும் 98ல் நின்று
விடுகிறது. எதுவுமே 100ஐ )அல்லது 99 ஐ) தொடவில்லை.
எனவே 5 பைசாக் கடையில் 60 புத்தகங்கள் வாங்கினால்
கணக்கின் நிபந்தனை பூர்த்தி அடையவில்லை.
எனவே 60ஐயும் நீக்கி விடுகிறோம். (elimination).
இனி மீதி இருப்பது 80 மட்டுமே. இந்த 80 ஐ
எடுத்து 1 முதல் 19 வரை பொருத்திப் பார்ப்போம்.
1. 80. 81. 9
2, 80, 82,14
3, 80, 83, 19
4, 80, 84, 24
5, 80, 85, 29
..., ..., ..., ...
18, 80, 98, 94
19, 80, 99, 99.
கடைசியில் 19, 80, 99, 99 கிடைத்துள்ளது.
கடைசி இரண்டு columnம் பொருந்துகிறது.
இரண்டும் 99. அதாவது புத்தக எண்ணிக்கையும்
99. தொகையும் 99.
இப்போது மீதியுள்ள 1 ரூபாய்க் கடையில் ஒரே
ஒரு புத்தகம் ஒரு ரூபாய்க்கு வாங்கினால்,
புத்தக எண்ணிக்கையும் 100 வந்து விடுகிறது.
தொகையும் 100 வந்து விடுகிறது. ஆக கணக்கின்
விடை கிடைத்து விட்டது.
விடை: 5 ரூபாய்க் கடையில் 19 புத்தகம்,
1 ரூபாய்க் கடையில் 1 புத்தகம், 5 பைசாக்
கடையில் 80 புத்தகம். ஆக மொத்தம் 100 புத்தகம்.
மொத்தத் தொகை = ரூ 100
ஆக, இந்தக் கணக்கிற்கு ஒரே ஒரு விடைதான்
என்பதை மேலே நிரூபித்துள்ளேன்.
ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விடை சாத்தியமில்லை
என்பதை நிரூபித்துள்ளேன்.
This sum has an UNIQUE SOLUTION. QED.
_----------------------------------------------------------------------
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக