பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைக் கண்டு பிடித்தது யார்?
உரிமைகோரல்களும் உண்மையும்!
---------------------------------------------------------------------------------
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
----------------------------------------------------------------------------------
இவ்வாண்டிற்கான இந்திய அறிவியல் மாநாடு 2015 மும்பையில்
சனவரி 3 முதல் 7 வரை சில நாட்கள் நடைபெற்றது.
இம்மாநாட்டில் பேசிய மத்திய அறிவியல் தொழில்நுட்பத் துறை
அமைச்சர் டாக்டர் ஹர்ஷ வர்த்தன் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைக்
கண்டுபிடித்தது இந்தியாதான் என்று கூறினார்.
தமிழ்ச் சூழலில் சிலர் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைக் கண்டுபிடித்
தவர்கள் தமிழர்கள் என்று கூறி வருகின்றனர். இதற்கான வலுவான
ஆதாரம் எதுவும் எவராலும் இன்றுவரை தரப்படவில்லை.
இந்நிலையில் ஒரு பழஞ்செய்யுள் இதற்கு
ஆதாரமாகக் காட்டப் படுகிறது. அதை இப்போது பார்ப்போம்.
”ஓடிய நீளந்தன்னை ஓரெட்டு கூறாக்கி
கூறதில் ஒன்றைத் தள்ளி
குன்றத்தில் பாதி சேர்த்தால்
நீடிய கர்ணந் தானே!”
- கோதையனார்
இதன் பொருள்: முக்கோணத்தின் கர்ணம் கண்டுபிடிக்க, நீளத்தை எட்டால் வகுத்து, கிடைப்பதை நீளத்தில் கழித்து, செங்குத்து உயரத்தில் பாதியை இத்தோடு சேர்த்தால் கர்ணம் கிடைக்கும்.-
எடுத்துக்காட்டு: 3,4,5 அளவுகளைக் கொண்ட முக்கோணம்.
நீளம் 4. அதில் எட்டில் ஒரு பாகம் 0.5. அதை நீளத்தில் கழித்தால் 3.5. இத்தோடு உயரத்தில் பாதி (1.5) சேர்க்க 3.5 + 1.5 = 5. ஆக BC (கர்ணம்) = 5.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி கர்ணம் காண சூத்திரம்
AB^2 + AC^2 = BC^2
4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2
BC = 5
கோதையனாரின் சூத்திரத்தைப் பின்வருமாறு எடுத்துக்
கொள்ளலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில்,
செங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய பக்கங்களை a , b என்று
எடுத்துக் கொண்டால், கர்ணம் என்பது (7a+4b)/8க்குச் சமம்.
இங்கு a , b இவ்விரண்டில், a என்பது b ஐ விடப் பெரியதாக
இருக்க வேண்டும். (கோதையனார் இவ்வாறு கூறவில்லை;
அவரின் சூத்திரத்தை கணித மொழியில் கூறுவதானால்,
இவ்வாறுதான் கூற முடியும்.)
கோதையனாரின் சூத்திரம் எல்லா பித்தகோரசின் மும்மைகளுக்கும் (Pythagorian triplets)
பொருந்தவில்லை. எடுத்துக்காட்டு:
1) 8,15,17 என்கிற பித்தகோரசின் மும்மைக்கு
பொருந்தவில்லை. கர்ணம் 17.25 வருகிறது. இது தவறு. 17 என்பதே சரியான விடை.
**
2) 7,24,25 என்கிற எண்களுக்கும் பொருந்தவில்லை. கர்ணம் 24.25 வருகிறது.
இது தவறு. கர்ணம் 25 என்பதே சரியான விடை.
**
3) 9,40,41 என்கிற எண்களுக்குப் பொருந்தவில்லை. கர்ணம் 39 வருகிறது.
41 என்பதே சரியான விடை.
1000 வரையிலான எண்களில், 158 பித்தகோரசின் மும்மைகள்
(PYTHAGORIAN TRIPLETS) உள்ளன. இவற்றுள், 3,4,5 மற்றும்
5,12,13 ஆகிய இரண்டு பித்தகோரசின் மும்மைகளுக்கு
மட்டுமே கோதையனாரின் சூத்திரம் பொருந்துகிறது. மீதி
எதற்கும் பொருந்தவில்லை. எனவே, கோதையனாரின் சூத்திரம்
பித்தகோரஸ் தேற்றம் ஆகாது. சில எளிய பித்தகோரசின் மும்மைகள்
பற்றிய பட்டறிவு மட்டுமே என்பது தெரிய வருகிறது.
கணிதச் செயல்பாடுகளை மேற்கொண்ட எந்த ஒரு சமூகமும்
பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின் அடிப்படைகளை "முயற்சியும்
பிழையும்"(trial and error) என்ற முறையில் கண்டறிந்து
இருக்க முடியும். ஏனெனில், எண்ணியல், வடிவியல்
ஆகியவற்றில், பித்தகோரஸ் தேற்றம் மிகவும் அடிப்படை
யானது. இதைத் தவிர்த்த கணிதச் செயல்பாடுகள் இருக்க
முடியாது.
கணிதத்தின் வரலாற்றை எழுதிய கணித அறிஞர்கள், கி. மு
2500ஆம் ஆண்டிலேயே அன்றைய மெசபட்டோமியா நகரில்
வாழ்ந்த பாபிலோனியர்கள் பித்தகோரசின் மும்மைகள் பற்றி
அறிந்து இருந்தார்கள் என்று குறிப்பிட்டுள்ளனர். சிறிய
எண்களான 3,4,5 மற்றும் 5,12,13 ஆகியவை பற்றிய அறிவு
அக்கால மக்களுக்கு இருந்தது. எனினும் இது முழுமையான
பித்தகோரஸ் தேற்றமாகப் பரிணமிக்கவில்லை. அதற்கு
மேலும் பல நூறு அல்லது ஆயிரம் ஆண்டுகள் பிடித்தன.
இந்தியாவில்தான் முதன் முதலாக, கி.மு 800இல் பித்தகோரஸ்
தேற்றம் ஒரு கூற்றாக (statement) எழுத்து மூலம் பதிவு செய்யப்
பட்டது. பண்டை இந்தியாவின் கணித அறிஞர் பௌதயானர்
(Baudhayana) கி.மு 800இல் தமது சுல்ப சூத்திரங்களில் (Sulba sutras)
பித்தகோரஸ் தேற்றத்துக்கு எழுத்து வடிவம் கொடுத்துள்ளார்
என்றாலும் பௌதயானர் இதற்கு எந்த நிரூபணமும்
அளிக்கவில்லை.இத்தேற்றம் இங்கிருந்து சீனா சென்றபோது,
சீனர்கள் இதை அறிந்து கொண்டனர். அவர்கள் இத்தேற்றத்துக்கு
ஒரு கறாரான நிரூபணத்தை அளித்தனர். சீனர்கள் இத்தேற்றத்தை
கௌகு தேற்றம் என்பர். இத்தேற்றத்தை நிரூபித்தவரான கௌகு
(Gougu) என்பவரின் பெயரால் இப்படிக் கூறினர். இவை நிகழ்ந்த
காலம் உறுதியாக கி.மு 800க்குப் பிறகே.
இந்தியாவில் பிறந்த கணித நிபுணர் டாக்டர் மஞ்சுள பார்கவா
பின்வருமாறு கூறுகிறார்:
"பித்தகோரஸ் தேற்றம் பற்றிய எளிய தொடக்கநிலை அறிவை
முதன் முதலில் பெற்று இருந்தவர்கள் எகிப்தியர்கள்;
இத்தேற்றத்துக்கு முதன்முதலில் எழுத்து வடிவம் கொடுத்தவர்கள்
இந்தியர்கள்; இதற்கு முதன் முதலில் நிரூபணம் தந்தவர்கள்
சீனர்கள். எப்படிப் பார்த்தாலும், எகிப்தியர்கள், இந்தியர்கள்,
சீனர்கள் ஆகியோருக்குப் பிறகே, பித்தகோரஸ் இதை அறிந்து கொண்டார்.
எனவே, பித்தகோரஸின் பெயரால் இத்தேற்றம் வழங்கப் படுவது
என்பது முற்றிலும் பிழையானது.
நான்காண்டுகளுக்கு ஒரு முறை உலகக் கணிதக் கழகம்
(International Mathematics Union) கணிதத்தில் சிறந்த இளம்
நிபுணர்களுக்கு ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் (Fields Medal) என்னும்
உயர்ந்த விருதை வழங்கி வருகிறது. கனடா நாட்டின் கணித
மேதை ஃபீல்ட்ஸ் என்பவரின் பெயரால் இவ்விருது வழங்கப்
படுகிறது. இந்தியாவில் பிறந்து, அமெரிக்காவின் பிரின்ஸ்டன்
பல்கலையில் பணியாற்றி வரும் டாக்டர் மஞ்சுள பார்கவா
இவ்விருதை 2014இல் பெற்றார்.
தேற்றத்தை முதலில் கூறிய இந்தியாவுக்கும், அதை நிரூபித்த
சீனாவுக்கும் மட்டுமே இத்தேற்றத்தின் மீது உரிமை உள்ளது.
அப்படியானால், பித்தகோரஸ்! அவர் யாரோ ஒரு வழிப்போக்கர்!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
உரிமைகோரல்களும் உண்மையும்!
---------------------------------------------------------------------------------
பி இளங்கோ சுப்பிரமணியன்
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
----------------------------------------------------------------------------------
இவ்வாண்டிற்கான இந்திய அறிவியல் மாநாடு 2015 மும்பையில்
சனவரி 3 முதல் 7 வரை சில நாட்கள் நடைபெற்றது.
இம்மாநாட்டில் பேசிய மத்திய அறிவியல் தொழில்நுட்பத் துறை
அமைச்சர் டாக்டர் ஹர்ஷ வர்த்தன் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைக்
கண்டுபிடித்தது இந்தியாதான் என்று கூறினார்.
தமிழ்ச் சூழலில் சிலர் பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைக் கண்டுபிடித்
தவர்கள் தமிழர்கள் என்று கூறி வருகின்றனர். இதற்கான வலுவான
ஆதாரம் எதுவும் எவராலும் இன்றுவரை தரப்படவில்லை.
இந்நிலையில் ஒரு பழஞ்செய்யுள் இதற்கு
ஆதாரமாகக் காட்டப் படுகிறது. அதை இப்போது பார்ப்போம்.
”ஓடிய நீளந்தன்னை ஓரெட்டு கூறாக்கி
கூறதில் ஒன்றைத் தள்ளி
குன்றத்தில் பாதி சேர்த்தால்
நீடிய கர்ணந் தானே!”
- கோதையனார்
இதன் பொருள்: முக்கோணத்தின் கர்ணம் கண்டுபிடிக்க, நீளத்தை எட்டால் வகுத்து, கிடைப்பதை நீளத்தில் கழித்து, செங்குத்து உயரத்தில் பாதியை இத்தோடு சேர்த்தால் கர்ணம் கிடைக்கும்.-
எடுத்துக்காட்டு: 3,4,5 அளவுகளைக் கொண்ட முக்கோணம்.
நீளம் 4. அதில் எட்டில் ஒரு பாகம் 0.5. அதை நீளத்தில் கழித்தால் 3.5. இத்தோடு உயரத்தில் பாதி (1.5) சேர்க்க 3.5 + 1.5 = 5. ஆக BC (கர்ணம்) = 5.
பிதாகரஸ் தேற்றப்படி கர்ணம் காண சூத்திரம்
AB^2 + AC^2 = BC^2
4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2
BC = 5
கோதையனாரின் சூத்திரத்தைப் பின்வருமாறு எடுத்துக்
கொள்ளலாம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில்,
செங்கோணத்தை உள்ளடக்கிய பக்கங்களை a , b என்று
எடுத்துக் கொண்டால், கர்ணம் என்பது (7a+4b)/8க்குச் சமம்.
இங்கு a , b இவ்விரண்டில், a என்பது b ஐ விடப் பெரியதாக
இருக்க வேண்டும். (கோதையனார் இவ்வாறு கூறவில்லை;
அவரின் சூத்திரத்தை கணித மொழியில் கூறுவதானால்,
இவ்வாறுதான் கூற முடியும்.)
கோதையனாரின் சூத்திரம் எல்லா பித்தகோரசின் மும்மைகளுக்கும் (Pythagorian triplets)
பொருந்தவில்லை. எடுத்துக்காட்டு:
1) 8,15,17 என்கிற பித்தகோரசின் மும்மைக்கு
பொருந்தவில்லை. கர்ணம் 17.25 வருகிறது. இது தவறு. 17 என்பதே சரியான விடை.
**
2) 7,24,25 என்கிற எண்களுக்கும் பொருந்தவில்லை. கர்ணம் 24.25 வருகிறது.
இது தவறு. கர்ணம் 25 என்பதே சரியான விடை.
**
3) 9,40,41 என்கிற எண்களுக்குப் பொருந்தவில்லை. கர்ணம் 39 வருகிறது.
41 என்பதே சரியான விடை.
1000 வரையிலான எண்களில், 158 பித்தகோரசின் மும்மைகள்
(PYTHAGORIAN TRIPLETS) உள்ளன. இவற்றுள், 3,4,5 மற்றும்
5,12,13 ஆகிய இரண்டு பித்தகோரசின் மும்மைகளுக்கு
மட்டுமே கோதையனாரின் சூத்திரம் பொருந்துகிறது. மீதி
எதற்கும் பொருந்தவில்லை. எனவே, கோதையனாரின் சூத்திரம்
பித்தகோரஸ் தேற்றம் ஆகாது. சில எளிய பித்தகோரசின் மும்மைகள்
பற்றிய பட்டறிவு மட்டுமே என்பது தெரிய வருகிறது.
கணிதச் செயல்பாடுகளை மேற்கொண்ட எந்த ஒரு சமூகமும்
பித்தகோரஸ் தேற்றத்தின் அடிப்படைகளை "முயற்சியும்
பிழையும்"(trial and error) என்ற முறையில் கண்டறிந்து
இருக்க முடியும். ஏனெனில், எண்ணியல், வடிவியல்
ஆகியவற்றில், பித்தகோரஸ் தேற்றம் மிகவும் அடிப்படை
யானது. இதைத் தவிர்த்த கணிதச் செயல்பாடுகள் இருக்க
முடியாது.
கணிதத்தின் வரலாற்றை எழுதிய கணித அறிஞர்கள், கி. மு
2500ஆம் ஆண்டிலேயே அன்றைய மெசபட்டோமியா நகரில்
வாழ்ந்த பாபிலோனியர்கள் பித்தகோரசின் மும்மைகள் பற்றி
அறிந்து இருந்தார்கள் என்று குறிப்பிட்டுள்ளனர். சிறிய
எண்களான 3,4,5 மற்றும் 5,12,13 ஆகியவை பற்றிய அறிவு
அக்கால மக்களுக்கு இருந்தது. எனினும் இது முழுமையான
பித்தகோரஸ் தேற்றமாகப் பரிணமிக்கவில்லை. அதற்கு
மேலும் பல நூறு அல்லது ஆயிரம் ஆண்டுகள் பிடித்தன.
இந்தியாவில்தான் முதன் முதலாக, கி.மு 800இல் பித்தகோரஸ்
தேற்றம் ஒரு கூற்றாக (statement) எழுத்து மூலம் பதிவு செய்யப்
பட்டது. பண்டை இந்தியாவின் கணித அறிஞர் பௌதயானர்
(Baudhayana) கி.மு 800இல் தமது சுல்ப சூத்திரங்களில் (Sulba sutras)
பித்தகோரஸ் தேற்றத்துக்கு எழுத்து வடிவம் கொடுத்துள்ளார்
என்றாலும் பௌதயானர் இதற்கு எந்த நிரூபணமும்
அளிக்கவில்லை.இத்தேற்றம் இங்கிருந்து சீனா சென்றபோது,
சீனர்கள் இதை அறிந்து கொண்டனர். அவர்கள் இத்தேற்றத்துக்கு
ஒரு கறாரான நிரூபணத்தை அளித்தனர். சீனர்கள் இத்தேற்றத்தை
கௌகு தேற்றம் என்பர். இத்தேற்றத்தை நிரூபித்தவரான கௌகு
(Gougu) என்பவரின் பெயரால் இப்படிக் கூறினர். இவை நிகழ்ந்த
காலம் உறுதியாக கி.மு 800க்குப் பிறகே.
இந்தியாவில் பிறந்த கணித நிபுணர் டாக்டர் மஞ்சுள பார்கவா
பின்வருமாறு கூறுகிறார்:
"பித்தகோரஸ் தேற்றம் பற்றிய எளிய தொடக்கநிலை அறிவை
முதன் முதலில் பெற்று இருந்தவர்கள் எகிப்தியர்கள்;
இத்தேற்றத்துக்கு முதன்முதலில் எழுத்து வடிவம் கொடுத்தவர்கள்
இந்தியர்கள்; இதற்கு முதன் முதலில் நிரூபணம் தந்தவர்கள்
சீனர்கள். எப்படிப் பார்த்தாலும், எகிப்தியர்கள், இந்தியர்கள்,
சீனர்கள் ஆகியோருக்குப் பிறகே, பித்தகோரஸ் இதை அறிந்து கொண்டார்.
எனவே, பித்தகோரஸின் பெயரால் இத்தேற்றம் வழங்கப் படுவது
என்பது முற்றிலும் பிழையானது.
நான்காண்டுகளுக்கு ஒரு முறை உலகக் கணிதக் கழகம்
(International Mathematics Union) கணிதத்தில் சிறந்த இளம்
நிபுணர்களுக்கு ஃபீல்ட்ஸ் மெடல் (Fields Medal) என்னும்
உயர்ந்த விருதை வழங்கி வருகிறது. கனடா நாட்டின் கணித
மேதை ஃபீல்ட்ஸ் என்பவரின் பெயரால் இவ்விருது வழங்கப்
படுகிறது. இந்தியாவில் பிறந்து, அமெரிக்காவின் பிரின்ஸ்டன்
பல்கலையில் பணியாற்றி வரும் டாக்டர் மஞ்சுள பார்கவா
இவ்விருதை 2014இல் பெற்றார்.
தேற்றத்தை முதலில் கூறிய இந்தியாவுக்கும், அதை நிரூபித்த
சீனாவுக்கும் மட்டுமே இத்தேற்றத்தின் மீது உரிமை உள்ளது.
அப்படியானால், பித்தகோரஸ்! அவர் யாரோ ஒரு வழிப்போக்கர்!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக