Ilango Arasiyal

கணக்கின் விடையும் விளக்கமும்!
---------------------------------------------------------------------
விடை: மொத்தக்க காரணிகள்= 24. அவற்றின் 
கூட்டுத்தொகை =1170.
விளக்கம்:
---------------------
1) இந்தக் கணக்கைச் செய்ய எந்த சூத்திரமும் 
தேவையில்லை. 10 ஆம் வகுப்பு படிக்கும் 
மாணவனால் செய்ய முடியும்.
**
2) வரிசையாக ஒவ்வொரு காரணியையும் எழுதிக் 
கொண்டே வந்தால் வேலை முடிந்தது.
3) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60,
72, 90,120, 180, 360. அவ்வளவுதான். மொத்தம் 24 காரணிகள்.
**
4) 180க்கு அப்புறம் காரணிகள் இருக்க முடியாது 
என்ற தெளிவு வேண்டும். ஏனெனில் 180 என்பது 
360இல் பாதி.
5) அடுத்து எல்லாக் காரணிகளையும் கூட்டுங்கள்.
கூட்டுத்தொகை 1170 வரும்.
**
6) இதில் ஏதேனும் கஷ்டம் உள்ளதா? இதைச் செய்ய 
10ஆம் வகுப்புக்கு மேல் படித்திருக்க வேண்டிய 
தேவை உள்ளதா? இல்லை.
7) உயர் வகுப்புகளில் இது போன்ற கணக்குகளைச் 
செய்ய பல்வேறு வழிகள், சூத்திரங்கள் கற்றுத் 
தரப் படுகின்றன.
**
8) 360 ஒரு அற்புதமான எண். இதற்கு ஏகப்பட்ட 
காரணிகள் உள்ளன. எனவே சுலபமாகச் 
செய்து விட்டோம். அடுத்து, 480 என்ற எண்ணின் 
காரணிகளைக் கண்டு பிடிப்போம். இதுவும் 
எளிதே. ஆனால் எண்கள் இன்னும் பெரிதாக 
இருந்தால், அப்போது கணக்கைச் செய்வது எப்படி?
அதை அடுத்துப் பார்ப்போம். 
**
9) இதே போல் 480இன் காரணிகளையும் 
கண்டு பிடிக்குமாறு வேண்டுகிறேன்
========================
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி விடை காணுதல்!
------------------------------------------------------------------------------------
1) 360 என்ற எண்ணின் காரணிகள் எத்தனை என்று 
கண்டறிய வேண்டுமா? முதலில் 360 ஐ பகா எண்களின்
பெருக்கற்பலனாக எழுதுக.
N = product of primes. அவ்வாறு எழுத முடியுமா?
2) முடியும். எந்த ஒரு காம்போசிட் நம்பரையும் 
பிரைம் நம்பர்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுத 
முடியும். இப்படி ஒரு தேற்றம் உள்ளது. எனவே 360ஐ 
பிரைம் நம்பர்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுதலாம்.
3) 360 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5
= 2^3 x 3^2 x 5^1 
4) இப்போது, சூத்திரப்படி, மொத்தக் காரணிகள் 
எவ்வளவு என்று காண்போம். 2,3,5 ஆகிய பிரைம் 
நம்பர்களின் பெருக்கற்பலனாக 360 உள்ளது.
5) 2,3,5 ஆகிய prime நம்பர்களின் அடுக்குகள் 
(INDICES) 3,2,1 என்று உள்ளன.
6) எனவே மொத்தக் காரணிகள்= (3+1). (2+1).(1+1) =24.
7) சூத்திரம் வருமாறு:-
If N= p^a x q^b x r^c x.................., then number of divisors= 
(a+1) (b+1)(c+1)...............
where N= composite number: p,q,r..... =prime factors; 
a,b,c,....= indices of those primes.
=======================

விடையும் விளக்கமும் 
-----------------------------------------
480 என்ற எண்ணின் மொத்தக் காரணிகள் = 24.
( 24 காரணிகளையும் முந்திய பின்னூட்டத்தில் 
காண்க). காரணிகளின் கூட்டுத் தொகை = 1512.
**
N = 480= 32 x 3 x 5 = 2^5 x 3^1 x 5^1 
number of factors= (5+1) ( 1+1) ( 1+1) = 6 x 2 x 2= 24.
------------------------------------------------------------------------------