நியூட்டனை விஞ்சிய துலுக்காணம்!
ஏணிக் கணக்கு: விடையும் விளக்கமும்!
--------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------------------
ஒரு சுவரின் மீது ஒரு ஏணி சாத்தி வைக்கப் பட்டு
இருக்கிறது. ஏணியின் நீளம் 5 மீட்டர். ஏணியின் பாதம்
சுவரில் இருந்து 3 மீட்டர் தள்ளி இருக்கிறது. இந்நிலையில்
ஏணியின் பாதமானது வினாடிக்கு அரை மீட்டர் என்ற
வீதத்தில் சுவருக்கு அப்பால் நகர்கிறது. அப்படியானால்
ஏணியின் உச்சியானது தான் இருந்த இடத்தில் இருந்து
என்ன வீதத்தில் (rate) கீழிறங்கும்?
A ladder 5 m long leans against an upright wall. Find the rate at which
the top of the ladder is moving downward if the foot is 3 m from the wall
and moving away at the rate of of 0.5 m per second.
இந்தக் கணக்கு உலகப் புகழ் பெற்ற ஒரு கால்குலஸ் கணக்கு.
உலகம் முழுவதும் கால்குலஸ் படிக்கும் மாணவர்கள்
இந்தக் கணக்கைக் கடந்து செல்லாமல் இருக்க முடியாது.
Such an universal sum this is! தமிழ்நாடு State Board பாடத்திட்டத்தில்
இது 12ஆம் வகுப்புக் கணக்கு. என்றாலும் ஒரு மார்க்
கேள்வியில் கூட இந்தக் கணக்கை யாரும் கேட்க
மாட்டார்கள். காரணம் அவ்வளவு எளிமை!
கால்குலஸ் என்பது பொருட்களை அவற்றின் இயக்கத்தில்
வைத்துப் பரிசீலிக்கும் கணிதப்பிரிவு என்று முன்னரே
பார்த்தோம். கொடுக்கப்பட்ட கணக்கில் ஏணியின் பாதம்
நிலையாக இல்லை.சுவருக்கு எதிர்த்திசையில் நகர்ந்து
கொண்டே இருக்கிறது. இதன் காரணமாக ஏணியின் உச்சி
சுவரில் தான் முதலில் இருந்த உயரத்தில் இருந்து
கீழே இறங்கிக் கொண்டே இருக்கிறது. ஆக, மிகத் தெளிவான
ஒரு மாற்றம் (change) இங்கு நடந்து கொண்டு இருக்கிறது.
அதனால்தான் கால்குலஸ் இங்கு வருகிறது. அந்த மாற்றத்தின்
வீதம் (rate of change) என்ன என்பதுதான் கணக்கு.
ஏணியின் பாதம் நகர்கிறது. எனவே இது ஒரு மாறி (VARIABLE).
இதை x என்போம். ஏணியின் உச்சியும் நகர்கிறது (அதாவது
கீழே இறங்குகிறது). எனவே இதுவும் ஒரு மாறி. இதை y என்போம்.
இவ்விரண்டு மாறிகளில் y என்பது xஐப் பொறுத்து மாறுகிறது.
கால்குலஸ் மொழியில் இதை y = f (x) என்கிறோம். f என்பது
functionஐக் குறிக்கும். கால்குலசில் இந்த function என்பதை
முதன் முதலில் அறிமுகப் படுத்தியவர் லீபிநிட்ஸ். y = f(x)
என்றால், y என்பது x ஐப் பொறுத்து மாறுவது என்று பொருள்.
x மாறாவிட்டால் y என்பதும் மாறாது என்பதும் பொருள்.
கொடுக்கப்பட்ட கணக்கில் ஒரு மாறியானது எந்த வீதத்தில்
மாறுகிறது என்ற விவரம் தரப்பட்டுள்ளது.அதாவது, ஏணியின்
பாதம் வினாடிக்கு அரை மீட்டர் என்ற வீதத்தில் மாறுகிறது
என்ற விவரம் தரப் பட்டுள்ளது. கேட்கப்பட்டுள்ள கேள்வி
"அப்படியானால், ஏணியின் உச்சி எந்த வீதத்தில் மாறும்"
என்பது. கால்குலசுக்குச் செல்லாமலேயே, இந்தக் கணக்கில்
ஏணியின் உச்சி கீழே இறங்குகிறது என்பதை காமன் சென்ஸ்
மூலம் நாம் அறிந்து கொள்கிறோம். எனவே இந்த function
ஒரு decreasing function ஆகும். (எனவே விடை மைனசில் வரும்).
உலகம் என்பது மாறிகளால் மட்டும் ஆனது அல்ல. மாறாத
விஷயங்களும் இருக்கின்றன. இந்தக் கணக்கில், ஏணியின்
பாதம், ஏணியின் உச்சி ஆகிய இரண்டும் மாறுகின்றன.
ஆனால் ஒன்றே ஒன்று மாறாமல் இருக்கிறது. அது என்ன?
அதுதான் ஏணி! அதாவது ஏணியின் நீளம்! இது மாறாது
அல்லவா? (பேய்க் கதைகளில் மாறி விட்டுப் போகட்டும்!)
ஒரு மாறி (ஏணியின் பாதம்) எந்த வீதத்தில் மாறுகிறது
என்ற விவரத்தை வைத்துக் கொண்டு, இன்னொரு மாறி
(ஏணியின் உச்சி) எந்த வீதத்தில் மாறும் என்பதைக் கண்டு
பிடிக்க வேண்டும். அதுதான் விடை. இதற்கு இரண்டு
மாறிகளையும் தொடர்பு படுத்தும் ஒரு உறவைக்
காண வேண்டும். இந்த இடத்தில் பித்தகோரஸ் வந்து
விடுகிறார். இரண்டு மாறிகளுக்கும் அவரே கல்யாணம்
பண்ணி வைத்து விடுகிறார்.
இந்தக் கணக்கில் உலகப்புகழ் பெற்ற universally the simplest
பித்தகோரியன் டிரிப்லெட்டான 3,4,5 கொடுக்கப் பட்டுள்ளது.
ஏணியின் உச்சி சுவரில் 4 மீ உயரத்திலும், ஏணியின் பாதம்
சுவரில் இருந்து 3 மீ தூரத்திலும் உள்ளது. ஏணியின் நீளம்
5 மீ ஆகும். எனவே பித்தகோரஸின் தேற்றப்படி,
x squared + y squared = 5^2 என்ற சமன்பாடு கிடைக்கிறது.
**
இதை differentiate செய்ய வேண்டும். ஏணியின் பாதம் நகர்தலும்
ஏணியின் உச்சி நகர்தலும் ஆகிய இவ்விரண்டு விஷயங்களும்
நேரத்தைப் பொறுத்து மாறுகின்றன( changes with respect to time).
எனவே w.r.t time மேற்குறித்த சமன்பாட்டை differentiate செய்ய
வேண்டும். (Differentiate செய்வது என்றால் என்ன? ஏன் செய்ய
வேண்டும்? செய்வதால் என்ன லாபம்? செய்யாமல் இருந்தால்
எத்தனை பேருக்குக் குஷ்டரோகம் வரும்? மற்றும் இந்தக்
கணக்கில் பயன்படும் IMPLICIT Differentiation பற்றியெல்லாம்
தனிக்கட்டுரை எழுத வேண்டும், பின்னர்)
**
x^2+y^2= 5^2
Differentiating w.r.t time,
2x.dx/dt + 2y,dy/dt = 0
2.3.(0,5) + 2y.dy/dt = 0
2y.dy/dt = minus 3
2.4.dy/dt= minus 3
therefore, dy/dt = minus 3/8
**
இதுதான் விடை. மைனஸ் குறியானது ஏணியின் உச்சி
கீழிறங்குவதைக் காட்டும். எனவே ஏணியின் உச்சி
3/8 மீட்டர்/வினாடிக்கு ( minus 3/8 m per second) என்ற வீதத்தில்
கீழிறங்கும்.
2x.dx/dt + 2y.dy/dt = 0 என்று ஒரு ஸ்டெப் வந்துள்ளதே,
திடீர்னு 25 எப்படி 0 ஆனது என்று சிலர் கேட்கக் கூடும்.
எந்த ஒரு constantஐயும் differentiate செய்தால் பூஜ்யம்தான்
வரும். ஏனெனில், constant என்பது மாறாதது. அதில் மாற்றம்
என்பது கிடையாது. ஏணியின் நீளம் 5 மீட்டர் என்பது
மாறுமா? மாறாது அல்லவா! Differentiation என்பதே
மாற்றத்தை (அதாவது மிக மிக நுண்ணிய மாற்றத்தை)
அளவிடும் முறை. ஏணியின் உச்சியும் பாதமும்
எவ்வளவுதான் மாறினாலும் ஏணியின் நீளம் மாறாது
என்பதால் அது ஒரு constant. CONSTANT என்பதால் அதில்
மாற்றம் ஏற்படாது. எனவே CONSTANTஐ differentiate
செய்தால் பூஜ்யம் வரும்.
சைன் எக்சை (sin x) டிபரென்ஷியேட் பண்ணினால் என்ன
கிடைக்கும் என்று கேட்கிறார் XI வகுப்பில் ஆசிரியர்.
வகுப்பு முழுவதும் ஒரே குரலில் காஸ் எக்ஸ் (cos x) என்று
கேள்வியை கேட்டு முடிக்கும் முன்னரே பதில்
சொல்கிறது. கால்குலசைக் கண்டுபிடித்த நியூட்டனிடம்
இதே கேள்வியை ஒருவர் கேட்டிருந்தால், அதற்கு
விடை சொல்ல, நியூட்டன் குறைந்தது 10 நிமிடங்களாவது
எடுத்திருப்பார் என்று நினைத்துப் பார்க்கிறார் ஆசிரியர்.
ஆம். நியூட்டன் காலத்தில் இன்றுள்ள உத்திகள் எல்லாம்
(techniques of differentiation) கிடையாது;கண்டுபிடிக்கப் படவில்லை.
எல்லாவற்றையும் முதல்நிலைக் கோட்பாடுகளில்
(First Principles) இருந்துதான் கண்டு பிடிக்க வேண்டும்.
எனவே நியூட்டனுக்கு நேரம் ஆகும்: ஆகி இருக்கும்.
இன்றைக்கு சென்னை நகரின் குடிசைப் பகுதியில் உள்ள
ஒரு மாநகராட்சிப் பள்ளியில் படிக்கும் துலுக்காணம்
என்ற சிறுவன் சத்துணவு சாப்பிடுவதற்கு முன்பாகவே,
பசியோடிருக்கும் நேரத்தில், tan xஐ differentiate செய்தால்
secant squared x என்று நொடியில் சொல்கிறானே!
நியூட்டனுக்கே 10 நிமிஷம் ஆகுமே! இதை நினைத்துப்
பார்க்கையில், இவ்வளவு வசதிகள் இருந்தும் "எனக்குக்
கணக்கு வராது" என்று சொல்லி கணக்கைத் தவிர்த்து
வரலாறு, இலக்கியம் என்று சோரம் போகும்
பிள்ளைகளை என்ன செய்ய?
------------------------------------------------------------------------------------------------
ஏணிக் கணக்கு: விடையும் விளக்கமும்!
--------------------------------------------------------------------
நியூட்டன் அறிவியல் மன்றம்
---------------------------------------------------------------------------
ஒரு சுவரின் மீது ஒரு ஏணி சாத்தி வைக்கப் பட்டு
இருக்கிறது. ஏணியின் நீளம் 5 மீட்டர். ஏணியின் பாதம்
சுவரில் இருந்து 3 மீட்டர் தள்ளி இருக்கிறது. இந்நிலையில்
ஏணியின் பாதமானது வினாடிக்கு அரை மீட்டர் என்ற
வீதத்தில் சுவருக்கு அப்பால் நகர்கிறது. அப்படியானால்
ஏணியின் உச்சியானது தான் இருந்த இடத்தில் இருந்து
என்ன வீதத்தில் (rate) கீழிறங்கும்?
A ladder 5 m long leans against an upright wall. Find the rate at which
the top of the ladder is moving downward if the foot is 3 m from the wall
and moving away at the rate of of 0.5 m per second.
இந்தக் கணக்கு உலகப் புகழ் பெற்ற ஒரு கால்குலஸ் கணக்கு.
உலகம் முழுவதும் கால்குலஸ் படிக்கும் மாணவர்கள்
இந்தக் கணக்கைக் கடந்து செல்லாமல் இருக்க முடியாது.
Such an universal sum this is! தமிழ்நாடு State Board பாடத்திட்டத்தில்
இது 12ஆம் வகுப்புக் கணக்கு. என்றாலும் ஒரு மார்க்
கேள்வியில் கூட இந்தக் கணக்கை யாரும் கேட்க
மாட்டார்கள். காரணம் அவ்வளவு எளிமை!
கால்குலஸ் என்பது பொருட்களை அவற்றின் இயக்கத்தில்
வைத்துப் பரிசீலிக்கும் கணிதப்பிரிவு என்று முன்னரே
பார்த்தோம். கொடுக்கப்பட்ட கணக்கில் ஏணியின் பாதம்
நிலையாக இல்லை.சுவருக்கு எதிர்த்திசையில் நகர்ந்து
கொண்டே இருக்கிறது. இதன் காரணமாக ஏணியின் உச்சி
சுவரில் தான் முதலில் இருந்த உயரத்தில் இருந்து
கீழே இறங்கிக் கொண்டே இருக்கிறது. ஆக, மிகத் தெளிவான
ஒரு மாற்றம் (change) இங்கு நடந்து கொண்டு இருக்கிறது.
அதனால்தான் கால்குலஸ் இங்கு வருகிறது. அந்த மாற்றத்தின்
வீதம் (rate of change) என்ன என்பதுதான் கணக்கு.
ஏணியின் பாதம் நகர்கிறது. எனவே இது ஒரு மாறி (VARIABLE).
இதை x என்போம். ஏணியின் உச்சியும் நகர்கிறது (அதாவது
கீழே இறங்குகிறது). எனவே இதுவும் ஒரு மாறி. இதை y என்போம்.
இவ்விரண்டு மாறிகளில் y என்பது xஐப் பொறுத்து மாறுகிறது.
கால்குலஸ் மொழியில் இதை y = f (x) என்கிறோம். f என்பது
functionஐக் குறிக்கும். கால்குலசில் இந்த function என்பதை
முதன் முதலில் அறிமுகப் படுத்தியவர் லீபிநிட்ஸ். y = f(x)
என்றால், y என்பது x ஐப் பொறுத்து மாறுவது என்று பொருள்.
x மாறாவிட்டால் y என்பதும் மாறாது என்பதும் பொருள்.
கொடுக்கப்பட்ட கணக்கில் ஒரு மாறியானது எந்த வீதத்தில்
மாறுகிறது என்ற விவரம் தரப்பட்டுள்ளது.அதாவது, ஏணியின்
பாதம் வினாடிக்கு அரை மீட்டர் என்ற வீதத்தில் மாறுகிறது
என்ற விவரம் தரப் பட்டுள்ளது. கேட்கப்பட்டுள்ள கேள்வி
"அப்படியானால், ஏணியின் உச்சி எந்த வீதத்தில் மாறும்"
என்பது. கால்குலசுக்குச் செல்லாமலேயே, இந்தக் கணக்கில்
ஏணியின் உச்சி கீழே இறங்குகிறது என்பதை காமன் சென்ஸ்
மூலம் நாம் அறிந்து கொள்கிறோம். எனவே இந்த function
ஒரு decreasing function ஆகும். (எனவே விடை மைனசில் வரும்).
உலகம் என்பது மாறிகளால் மட்டும் ஆனது அல்ல. மாறாத
விஷயங்களும் இருக்கின்றன. இந்தக் கணக்கில், ஏணியின்
பாதம், ஏணியின் உச்சி ஆகிய இரண்டும் மாறுகின்றன.
ஆனால் ஒன்றே ஒன்று மாறாமல் இருக்கிறது. அது என்ன?
அதுதான் ஏணி! அதாவது ஏணியின் நீளம்! இது மாறாது
அல்லவா? (பேய்க் கதைகளில் மாறி விட்டுப் போகட்டும்!)
ஒரு மாறி (ஏணியின் பாதம்) எந்த வீதத்தில் மாறுகிறது
என்ற விவரத்தை வைத்துக் கொண்டு, இன்னொரு மாறி
(ஏணியின் உச்சி) எந்த வீதத்தில் மாறும் என்பதைக் கண்டு
பிடிக்க வேண்டும். அதுதான் விடை. இதற்கு இரண்டு
மாறிகளையும் தொடர்பு படுத்தும் ஒரு உறவைக்
காண வேண்டும். இந்த இடத்தில் பித்தகோரஸ் வந்து
விடுகிறார். இரண்டு மாறிகளுக்கும் அவரே கல்யாணம்
பண்ணி வைத்து விடுகிறார்.
இந்தக் கணக்கில் உலகப்புகழ் பெற்ற universally the simplest
பித்தகோரியன் டிரிப்லெட்டான 3,4,5 கொடுக்கப் பட்டுள்ளது.
ஏணியின் உச்சி சுவரில் 4 மீ உயரத்திலும், ஏணியின் பாதம்
சுவரில் இருந்து 3 மீ தூரத்திலும் உள்ளது. ஏணியின் நீளம்
5 மீ ஆகும். எனவே பித்தகோரஸின் தேற்றப்படி,
x squared + y squared = 5^2 என்ற சமன்பாடு கிடைக்கிறது.
**
இதை differentiate செய்ய வேண்டும். ஏணியின் பாதம் நகர்தலும்
ஏணியின் உச்சி நகர்தலும் ஆகிய இவ்விரண்டு விஷயங்களும்
நேரத்தைப் பொறுத்து மாறுகின்றன( changes with respect to time).
எனவே w.r.t time மேற்குறித்த சமன்பாட்டை differentiate செய்ய
வேண்டும். (Differentiate செய்வது என்றால் என்ன? ஏன் செய்ய
வேண்டும்? செய்வதால் என்ன லாபம்? செய்யாமல் இருந்தால்
எத்தனை பேருக்குக் குஷ்டரோகம் வரும்? மற்றும் இந்தக்
கணக்கில் பயன்படும் IMPLICIT Differentiation பற்றியெல்லாம்
தனிக்கட்டுரை எழுத வேண்டும், பின்னர்)
**
x^2+y^2= 5^2
Differentiating w.r.t time,
2x.dx/dt + 2y,dy/dt = 0
2.3.(0,5) + 2y.dy/dt = 0
2y.dy/dt = minus 3
2.4.dy/dt= minus 3
therefore, dy/dt = minus 3/8
**
இதுதான் விடை. மைனஸ் குறியானது ஏணியின் உச்சி
கீழிறங்குவதைக் காட்டும். எனவே ஏணியின் உச்சி
3/8 மீட்டர்/வினாடிக்கு ( minus 3/8 m per second) என்ற வீதத்தில்
கீழிறங்கும்.
2x.dx/dt + 2y.dy/dt = 0 என்று ஒரு ஸ்டெப் வந்துள்ளதே,
திடீர்னு 25 எப்படி 0 ஆனது என்று சிலர் கேட்கக் கூடும்.
எந்த ஒரு constantஐயும் differentiate செய்தால் பூஜ்யம்தான்
வரும். ஏனெனில், constant என்பது மாறாதது. அதில் மாற்றம்
என்பது கிடையாது. ஏணியின் நீளம் 5 மீட்டர் என்பது
மாறுமா? மாறாது அல்லவா! Differentiation என்பதே
மாற்றத்தை (அதாவது மிக மிக நுண்ணிய மாற்றத்தை)
அளவிடும் முறை. ஏணியின் உச்சியும் பாதமும்
எவ்வளவுதான் மாறினாலும் ஏணியின் நீளம் மாறாது
என்பதால் அது ஒரு constant. CONSTANT என்பதால் அதில்
மாற்றம் ஏற்படாது. எனவே CONSTANTஐ differentiate
செய்தால் பூஜ்யம் வரும்.
சைன் எக்சை (sin x) டிபரென்ஷியேட் பண்ணினால் என்ன
கிடைக்கும் என்று கேட்கிறார் XI வகுப்பில் ஆசிரியர்.
வகுப்பு முழுவதும் ஒரே குரலில் காஸ் எக்ஸ் (cos x) என்று
கேள்வியை கேட்டு முடிக்கும் முன்னரே பதில்
சொல்கிறது. கால்குலசைக் கண்டுபிடித்த நியூட்டனிடம்
இதே கேள்வியை ஒருவர் கேட்டிருந்தால், அதற்கு
விடை சொல்ல, நியூட்டன் குறைந்தது 10 நிமிடங்களாவது
எடுத்திருப்பார் என்று நினைத்துப் பார்க்கிறார் ஆசிரியர்.
ஆம். நியூட்டன் காலத்தில் இன்றுள்ள உத்திகள் எல்லாம்
(techniques of differentiation) கிடையாது;கண்டுபிடிக்கப் படவில்லை.
எல்லாவற்றையும் முதல்நிலைக் கோட்பாடுகளில்
(First Principles) இருந்துதான் கண்டு பிடிக்க வேண்டும்.
எனவே நியூட்டனுக்கு நேரம் ஆகும்: ஆகி இருக்கும்.
இன்றைக்கு சென்னை நகரின் குடிசைப் பகுதியில் உள்ள
ஒரு மாநகராட்சிப் பள்ளியில் படிக்கும் துலுக்காணம்
என்ற சிறுவன் சத்துணவு சாப்பிடுவதற்கு முன்பாகவே,
பசியோடிருக்கும் நேரத்தில், tan xஐ differentiate செய்தால்
secant squared x என்று நொடியில் சொல்கிறானே!
நியூட்டனுக்கே 10 நிமிஷம் ஆகுமே! இதை நினைத்துப்
பார்க்கையில், இவ்வளவு வசதிகள் இருந்தும் "எனக்குக்
கணக்கு வராது" என்று சொல்லி கணக்கைத் தவிர்த்து
வரலாறு, இலக்கியம் என்று சோரம் போகும்
பிள்ளைகளை என்ன செய்ய?
------------------------------------------------------------------------------------------------
கருத்துகள் இல்லை:
கருத்துரையிடுக